Integral definida de $\frac{1}{\sqrt{\tan x}}$

Question

Me gustaría pedirles ayuda para evaluar $$\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{\tan x}}dx$$

No he encontrado un sustituto adecuado.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Sugerencia

Como en la respuesta anterior, dejemos $$z=\sqrt{\tan(x)}\implies x=\tan ^{-1}\left(z^2\right)\implies dx=\frac{2 z}{z^4+1}\,dz$$ Esto hace que $$\int\frac{dx}{\sqrt{\tan x}}=2\int \frac{dz}{z^4+1}$$ Ahora $$z^4+1=(z^2+1)^2-2z^2=(z^2+\sqrt 2 z+1)(z^2-\sqrt 2 z+1)$$ Ahora, utilizando la descomposición parcial de la fracción $$\frac 1{z^4+1}=\frac 1{(z^2+\sqrt 2 z+1)(z^2-\sqrt 2 z+1)}$$ $$\frac 1{z^4+1}=\frac 1{2\sqrt 2}\left(\frac{z+\sqrt{2}}{z^2+\sqrt{2} z+1}-\frac{z-\sqrt{2}}{z^2-\sqrt{2} z+1}\right)$$ que parece llevar a integraciones bastante estándar que conducen a algunas $\tan^{-1}(.)$ y $\log(.)$ .

Answer 2

$$I = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{\tan x}} dx$$

$$z = \sqrt{\tan x}$$

$$dz = \frac{\sec^2x}{2\sqrt{\tan x}}dx$$

Por lo tanto,

$$I = \int\limits_{0}^{\infty}\frac{2}{\sec^2x}dz = \int\limits_{0}^{\infty}\frac{2}{z^4+1}dz \,\,\,\,(\sec^2x = 1+\tan^2x)$$

Utiliza la fracción parcial a partir de aquí. Por favor, echa un vistazo a la respuesta de @Claude.

Answer 3

Si no se quiere proceder por descomposición de fracciones parciales, se puede hacer un truco:

Primero, $z=\sqrt{\tan x}$ le dará, como se menciona en otras respuestas, $$\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{\tan x}}\,dx=\int_0^{+\infty}\frac{2}{1+z^4}\,dz=\int_0^1\frac{2}{1+z^4}\,dz +\int_1^{+\infty}\frac{2}{1+z^4}\,dz$$ En la segunda integral, haz $z\mapsto 1/z$ y obtendrá que $$\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{\tan x}}\,dx = \int_0^1\frac{2+2z^2}{1+z^4}\,dz.$$ Así, $$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{\tan x}}\,dx&= \int_0^1\frac{2+2z^2}{1+z^4}\,dz\\ &=\int_0^1\frac{2/z^2+2}{1/z^2+z^2}\,dz\\ &=\int_0^1\frac{(1+1/z^2)}{1+\bigl((z-1/z)/\sqrt{2}\bigl)^2}\,dz\\ &=\Bigl[\sqrt{2}\arctan\bigl((z-1/z)/\sqrt{2}\bigr)\Bigr]_0^1\\ &=\frac{\pi}{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

Answer 4

También podemos utilizar el teorema del residuo para calcular la integral. Obsérvese que $$I=\int_{0}^{\infty}\frac{2}{1+z^{4}}dz=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+z^{4}}dz$$ y ahora toma la media circunferencia superior con radio $R$ como contorno. No es difícil ver que el inegral sobre la semicircunferencia se desvanece como $R\rightarrow\infty$ así que $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+z^{4}}dz=2\pi i\left(\underset{z=e^{i\pi/4}}{\textrm{Res}}\frac{1}{1+z^{4}}+\underset{z=e^{i3\pi/4}}{\textrm{Res}}\frac{1}{1+z^{4}}\right)=\color{red}{\frac{\pi}{\sqrt{2}}}.$$