Análisis real autodidacta: ¿Tao o Rudin?

Question

Las solicitudes de referencia de libros de análisis se han vuelto tan numerosas como para borrar cualquier utilidad que pudieran tener. Así que aquí viene otro.

Recientemente he empezado a aprender el análisis real a través de Rudin. Hacía todos los ejercicios, y si no podía hacerlos dentro de un límite de tiempo (normalmente unos 30 minutos) buscaba las respuestas. Combinado con las excelentes conferencias en línea de Francis Su, progresé rápidamente. Animado, ahora tengo la intención de estudiar por mi cuenta el análisis II y la teoría de las funciones. Sin embargo, aparte de su estilo poco informativo y árido, el de Rudin no cubre todo lo que pretendo estudiar.

Tras buscar un libro de texto adecuado, me atrajo especialmente Analysis I&II, de Terry Tao. Su amplitud de conocimientos y su habilidad para la exposición clara son famosas, pero me gusta especialmente que empiece desde el principio y lo construya a partir de ahí, además de situar el análisis real dentro de un conjunto unificado mayor. Sus libros cubrirían exactamente lo que pretendo estudiar. Por ejemplo, cubre las series de Fourier, cosa que no hace Rudin.

Sin embargo, después de buscar durante horas no he podido encontrar ningún juego de soluciones. (aparte de algunos sobre los primeros capítulos). Según mi experiencia, es casi imposible estudiar por sí mismo una asignatura a fondo sin soluciones o información constante, incluso con un libro de texto excelente. Lo que me deja con pocas opciones:

1. Continúe con el de Rudin, quizás con algún libro complementario.
2. Intenta trabajar con el Análisis I y II de Terry Tao sin soluciones.
3. Encuentre un libro diferente que sea a la vez completo y legible y que tenga al menos un conjunto de soluciones parciales.

Sé que mucha gente recomendará a Rudin pero tengo que dudar de su experiencia con el autoestudio: sí es posible aprender directamente de Rudin pero es doloroso y lento. Y francamente siento que mucha gente ha invertido mucho tiempo y esfuerzo en Rudin y siente que más que enseñarles análisis les ha aportado madurez matemática. Eso está muy bien pero no es lo que me interesa.

Otra idea sería conseguir las dos cosas y leer Tao, mientras se hacen los ejercicios en el de Rudin. Sin embargo, no creo que sea una buena idea, muchos de los teoremas de Tao se dejan en manos del lector y el ritmo y la cobertura de ambos libros son muy diferentes. En general, no me gusta tener más de un libro.

¿Alguien conoce un conjunto de soluciones ampliadas (parciales) del análisis de Terry I&II o, en su defecto, una referencia de otro libro que sea adecuado?

Answer 1

En primer lugar, no hay que abandonar los problemas después de 30 minutos. Tómate un descanso, prueba con otro problema, quizás espera unos días y vuelve a intentarlo: sacarás mucho más provecho del problema si te esfuerzas y lo resuelves tú mismo. Tener acceso a las soluciones puede ser útil, pero no hay que depender de ellas. (Hay una frase que se utiliza mucho: "Si no puedes resolver un problema, entonces hay un problema más fácil que no puedes resolver; encuéntralo").

Baby/Blue Rudin es un gran libro para una introducción a los fundamentos del análisis (más allá del "cálculo avanzado" de una variable). Después de eso, sugeriría consultar la serie "Lectures in Analysis" escrita por Elias Stein y Rami Shakarchi (Stein fue en realidad el asesor de Terrence Tao). Estos libros cubren la introducción al análisis de Fourier, el análisis complejo, la teoría de la medida y el análisis funcional. A lo largo de la obra, los autores exponen todo tipo de aplicaciones profundas e instructivas (como las EDP, la teoría analítica de los números, la combinatoria aditiva y la probabilidad). De todos los libros de texto de análisis que he consultado, creo que es el que más me ha beneficiado del tiempo que he pasado con la serie de Stein y Shakarchi: estos libros te exponen a la "visión general" que muchos textos clásicos ignoran (aunque sigue mereciendo la pena consultar los "clásicos").

He ojeado partes de los apuntes de Terrence Tao sobre el análisis, y también parecen una buena opción (aunque he mirado sus apuntes de nivel de posgrado, no sé si es a lo que te refieres). Yo siempre he sacado mucho provecho de las cosas expositivas escritas por Tao, así que probablemente no puedes equivocarte con los apuntes a pesar de todo. Si crees que necesitas más ejercicios, no tengas miedo de utilizar varios libros. Llevar una pila de libros puede resultar molesto, pero siempre es útil ver cómo diferentes autores abordan el mismo tema.

Answer 2

Consigue el libro de Thomas Apostol "Análisis Matemático". Estoy estudiando para un examen de calificación de Análisis Moderno, y terminé un curso de reales "bebé" hace un año usando Rudin y refiriéndome ocasionalmente a Apostol por mi cuenta para ayuda. Del ridículo conjunto de textos que he sacado de la biblioteca para ayudarme a estudiar para mi cualificación en Análisis ("Baby" y "Mama" Rudin, Aliprantis, Folland, Haaser y Sullivan, Bruckner $^2$ y Thomson, Lang, Bass, Berberian, etc. etc.) es en realidad todavía El libro de Apostol es el que más estoy estudiando - no sólo cubre todos los temas que son críticos para el análisis introductorio, sino que también tiene importantes conexiones con el análisis moderno de las que carecen la mayoría de los textos. Véase, por ejemplo, los capítulos de integración múltiple de Riemann y Lebesgue, y el desarrollo natural de la integración de Lebesgue tras su capítulo sobre series de funciones.

Hay TONELADAS de ejemplos, contraejemplos (que muestran POR QUÉ aparecen ciertos teoremas), y temas críticos para el análisis a los que no se presta tanta atención en otros textos, como tratar a fondo las series dobles y la diferenciación bajo el signo integral. Los grandes teoremas de convergencia y las consecuencias importantes van seguidos de ejemplos y ejercicios prácticos con funciones reales, no sólo "empujando". $f_n$ 's." Incluso hay un capítulo entero dedicado a las series e integrales de Fourier, algo arrinconado comparativamente en Rudin.

Rudin es fantástico si está en la conferencia IMO, pero no en el auto-estudio. Apostol, en comparación, es un texto enciclopédico que prácticamente tiene un instructor allí mismo en las páginas. Hay soluciones a los ejercicios de los primeros ocho capítulos más o menos en algún lugar de la red; los ejercicios van desde lo rutinario hasta lo extremadamente difícil.

La única queja es la falta de atención a la teoría de las medidas. La integral de Lebesgue se desarrolla, en mi opinión, como una extensión natural de Riemann, y al final se incluyen algunas secciones de la teoría de la medida como una nota secundaria. A mí personalmente no me gusta ese desarrollo, pero merece la pena echarle un vistazo si nunca te has encontrado con la integración de Lebesgue. Además, como es habitual en casi cualquier texto de análisis real clásico, hay que evitar el último capítulo (en este caso un resumen demasiado breve del Análisis Complejo).

Si buscas algo un poco más "tonificado", pero por encima del nivel de, por ejemplo, los textos de licenciatura de Bartle o Lay, te recomendaría "Understanding Analysis", de Stephen Abbott. Es otro libro maravilloso que se centra en las ideas que más me ayudan actualmente, y es mucho más conciso que Apostol. Tiene material de análisis de Fourier en el último capítulo (sólo hay que pasar por su reproducción del enchufe de Bartle para la integral de Gauge). Este libro tiene un manual de soluciones que puedes pedir al autor a un costo si te pones en contacto con él.

Por último, recomendaría el "Análisis Matemático Real" de Pugh. Este es comparativamente pesado en topología, y los problemas son muy difíciles (y hay uno o dos extraños que piden cosas como venir con rimas sobre teoremas o algo así), pero se aprende un lote de la geometría e incluso se obtienen imágenes para acompañarlo. Su inconveniente es que es extremadamente charlatana.

En definitiva, no puedes equivocarte con el "Análisis Matemático" de Apostol, probablemente mi libro de matemáticas favorito de todos los tiempos, aparte del "Análisis Complejo" de Ahlfors (que también deberías conseguir, aunque no tengas ninguna razón para hacerlo). Los dos textos de Cálculo de Apostol son excelentes compañeros si necesitas "repasar" también - son los mejores textos de Cálculo que se han escrito en la OMI, y conducen tan naturalmente al "Análisis Matemático" que los considero un conjunto de tres volúmenes en cierto modo.

Answer 3

Aprendí la mayor parte de mi análisis de los excelentes volúmenes de Tao. El OP es correcto que Tao comienza al principio con la definición de los sistemas de números. Así que creo que el capítulo 5 de Tao es igual al capítulo 1 de Rudin, o algo así.

No me costó demasiado hacer las pruebas y ejercicios de los capítulos iniciales de Tao porque realmente desarrolla las ideas lentamente. Eso fue bueno. Sólo cuando empezó a tratar el tema de la topología de conjuntos de puntos me empezó a costar más. Así que decidí explorar un poco más la topología de conjuntos de puntos por mi cuenta. Así que leí el libro de Munkres y luego hice los ejercicios del esquema de Topología General de Schaum. Fue una buena combinación.

Después de tener un mejor manejo de la topología rigurosa, entonces realmente no tuve problemas para seguir el resto del análisis de Tao. Creo que me preparé a través del análisis de Tao y utilicé el esquema de Schaum en Cálculo Avanzado, y en Variables Reales para hacer problemas. Una vez que fui capaz de hacer los problemas en Schaum, entonces tuve mucho menos problemas para hacer los problemas en Tao. En muchos casos los problemas eran similares.

Pero así es como lo he enfocado. Espero que esta información ayude a otras personas a realizar el análisis. Realmente es un tema hermoso y me temo que la gente a menudo se siente intimidada por las afirmaciones sobre su dificultad.

Answer 4

En realidad, estudio el análisis para mi universidad usando al bebé Rudin como primer libro de referencia, pero he elegido otro libro como suplemento, por ejemplo, ahora está viendo el libro de S. Berberian (la versión pdf) como un buen apoyo [ [http://www.amazon.com/Fundamentals-Analysis-Universitext-Sterling-Berberian/dp/0387984801\]](http://rads.stackoverflow.com/amzn/click/0387984801) . No puedo encontrar soluciones...

Answer 5

Opinión personal: ¡Definitivamente, deberías optar por los libros de Tao!

Como ya han mencionado otros, si lo haces, debes estar preparado para dedicar más de horas a los distintos ejercicios, ya que algunos de ellos son muy poco triviales (no hace falta decir que la recompensa es enorme).

Si resuelves el problema por ti mismo y quieres verificar tu solución, entonces algunas de las soluciones ya están disponibles para los libros de Terence Tao a partir de 2021. Puede consultarlas en este enlace.