Cómo obtener una expresión aproximada de forma cerrada para $\int_0^1 \frac{e^{-a x-\frac{1}{b x}}}{c x} \, dx$ ?

Question

Cómo obtener una expresión aproximada de forma cerrada para $$\int_0^1 \frac{e^{-a x-\frac{1}{b x}}}{c x} \, dx,\quad a>0\land b>0\land c>0,$$ Sé que puede haber un compromiso entre la complejidad y la precisión y que, por tanto, existen múltiples soluciones. El resultado preferido se expresa con funciones elementales. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Dejemos que $\mu=\sqrt{\frac{a}{b}}$ y $\nu=\sqrt{ab}$ : $$\begin{eqnarray*}J(a,b)=\int_{0}^{1}\exp\left(-ax-\frac{b}{x}\right)\frac{dx}{x}&=&\int_{0}^{1}\exp\left[-\nu\left(\mu x+\frac{1}{\mu x}\right)\right]\frac{dx}{x}\\&=&e^{-2\nu}\int_{0}^{\mu}\exp\left[-\nu\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2\right]\frac{dx}{x}\\&=&e^{-2\nu}\int_{-\infty}^{\sqrt{\mu}-\frac{1}{\sqrt{\mu}}}\frac{2 e^{-\nu z^2}\,dz}{\sqrt{4+z^2}}\\&=&2e^{-2\nu}\int_{-\infty}^{\frac{1}{2}\left(\sqrt{\mu}-\frac{1}{\sqrt{\mu}}\right)}\frac{e^{-4\nu z^2}\,dz}{\sqrt{1+z^2}}\end{eqnarray*}$$ y $ \int_{-\infty}^{0}\frac{e^{-4\nu z^2}}{\sqrt{1+z^2}}=\frac{1}{2}e^{2\nu}K_0(2\nu)$ para que..: $$ J(a,b) = K_0(2\nu)+2e^{-2\nu}\int_{0}^{\frac{1}{2}\left(\sqrt{\mu}-\frac{1}{\sqrt{\mu}}\right)}\frac{e^{-4\nu z^2}\,dz}{\sqrt{1+z^2}}$$ donde $K$ es un función de Bessel modificada del segundo tipo y la integral restante es fácil de aproximar mediante la desigualdad de Cauchy-Schwarz.