Estoy tratando de resolver el problema 3.21 en Introducción a la electrodinámica, Griffiths donde me preguntan:
Hallar el potencial fuera de una esfera metálica cargada de carga Q y radio R, situada en un campo eléctrico por lo demás uniforme $\mathbf E_0$ .
Orientemos nuestro sistema de coordenadas de forma que el campo eléctrico actúe a lo largo del eje z.
- BC 1: La esfera es conductora, por lo que se establece $V(R, \theta)=0$ .
- BC 2: Como $r \rightarrow \infty$ observamos que $V \rightarrow -E_0r \cos \theta- \frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$
Obsérvese que la solución de la ecuación de Laplace en casos de simetría acimutal en coordenadas esféricas viene dada por:
$$V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}{(A_l r^l+\frac{B_l}{r^{l+1}})P_l\cos(\theta)}$$
Actualmente estoy atascado intentando que las dos condiciones de contorno funcionen juntas, todo lo que consigo es una forma límite de lo que deberían ser los coeficientes, e incluso una incompatibilidad.
Aplicar BC 1: $$V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}{A_l( r^l-\frac{R^{2l+1}}{r^{l+1}})P_l\cos(\theta)}$$
Pero es evidente que, para un volumen de $r$ El $\frac{R^{2l+1}}{r^{l+1}}$ desaparecen, y ahora no podemos utilizar la parte de la segunda condición de contorno que escala como $\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$ lo cual no es una sorpresa, pero el problema es que la segunda condición de contorno es incompatible con la primera, debido a la $\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$ y $-E_0r \cos \theta$ términos que no se ajustan a la forma requerida cuando aplicamos por primera vez el BC 1.
Por favor, ¿podría alguien aclarar el tema de esta incompatibilidad (Aunque en realidad no resuelve el problema utilizando un método diferente, estoy tratando de entender dónde me equivoqué con este método).
