Cambio de integrales iteradas de dxdy a dydx

Question

Tengo problemas para cambiar una integral iterada de dxdy a dydx :

Cambia la integral $\int_0^2 \int_y^{2y}6xy$ dx dy a un dy dx integral en forma de $\int_0^2 \int_{...}^{...}6xydydx$ + $\int_2^4 \int_{...}^{...}6xydydx$

Lo que me cuesta es intentar dividirlo en trozos: ¿el primero es sólo de 0 a y, y el siguiente de y a 2y?

Answer 1

El dominio de integración es el interior del triángulo con vértices en los puntos $(0,0)$ , $(2,2)$ y $(4,2)$ , delimitado por las líneas: $y=x$ , $y=x/2$ y $y=2$ . La integral de una función arbitraria $f(x,y)$ en este ámbito puede hacerse primero en $x$ y luego en $y$ o el primero en $y$ y luego en $x$ :

$$\int_0^2dy\int_y^{2y}f(x,y)\,dx = \int_0^2dx\int_{x/2}^xf(x,y)\,dy+\int_2^4dx\int_{x/2}^2f(x,y)\,dy$$