Integral del producto de tres armónicas esféricas

Question

¿Alguien sabe cómo derivar la siguiente identidad para la integral del producto de tres armónicas esféricas?

\begin{align}\int_0^{2\pi}\int_0^\pi Y_{l_1}^{m_1}(\theta,\phi)Y_{l_2}^{m_2}(\theta,\phi)&Y_{l_3}^{m_3}(\theta,\phi)\sin(\theta)d\theta d\phi =\\ &\sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \left( {\begin{array}{ccc} l_1 & l_2 & l_3 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \N - derecha) \N - izquierda ( \begin{array}{ccc} l_1 & l_2 & l_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \\ \end{array} } \(derecha) |align}

Donde el $Y_{l}^{m}(\theta,\phi)$ son armónicos esféricos. ¿O alguien conoce una referencia donde se dé la derivación?

Answer 1

Sakurai, Modern Quantum Mechanics, 2nd Ed. p.216

En su derivación, el producto de los dos primeros armónicos esféricos se expande utilizando la serie de Clebsch-Gordan (que también se demuestra) para obtener la siguiente ecuación.

$Y_{l_1}^{m_1}(\theta,\phi)Y_{l_2}^{m_2}(\theta,\phi)\ =$

$\displaystyle\sum\limits_{l} \displaystyle\sum\limits_{m} \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l+1)}{4\pi}} \left( {\begin{array}{ccc} l_1 & l_2 & l \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right) \left( {\begin{array}{ccc} l_1 & l_2 & l \\ m_1 & m_2 & -m \\ \end{array} } \right)(-1)^m Y_{l}^{m}(\theta,\phi)$

Lo que hace que la integral sea mucho más fácil.

Nota final: Sakurai escribe su derivación en coeficientes de Clebsch-Gordan por lo que la ecuación fue cambiada para ajustarse a la pregunta formulada.

Answer 2

Es un caso especial de la integral para tres matrices de representación que se deriva en el artículo de Wigner en la página 91 de Biedenharn y van Dam "teoría cuántica del momento angular" (ecuación 5 de Wigner). Es necesario conocer la conexión entre las matrices de representación $D^j_{mn}(U)$ y el $Y^l_m$ 's. Esto se explica en el capítulo 15 de Stone y Goldbart. Está en la página 620 de la versión en línea en http://www.goldbart.gatech.edu/PostScript/MS_PG_book/bookmaster.pdf .

Answer 3

Richard Zare's libro tiene una derivación, o al menos todas las piezas de una. La sección 3.9 contiene los resultados clave, aunque hay que remitirse a las secciones anteriores para completar la derivación.

Me pregunto si también se podría hacer por inducción, utilizando las relaciones de recurrencia para los armónicos esféricos de la izquierda y para los de 3 $j$ a la derecha. Nunca he visto a nadie hacer algo así, tal vez no funciona.