No sé cómo abordar la inusual raíz cúbica presente en esta desigualdad.
$1.$ Para los números reales $a,b,c > 0$ y $n\le3$ demostrar que $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+n\left(\frac{3\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\right)\ge 3+n$$ Aquí hay otra pregunta con el mismo lado menor (y por supuesto no pude probar)-.
$2.$ Dejemos que $a, b, c$ sean números reales positivos tales que $a + b + c = ab + bc + ca$ y $n 3$ . Demostrar que $$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{3n}{a^2+b^2+c^2}\ge 3+n$$ Lo que intenté fue esto $$\left(a+b+c\right)\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{3n}{a^2+b^2+c^2}\right)\ge \left(a+b+c\right)\left(3+n\right)$$ Evitando el RHS por algún tiempo-
$$\left(a+b+c\right)\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{3n}{a^2+b^2+c^2}\right)\ge (a+b+c)^2+\frac{3n(a+b+c)}{a^2+b^2+c^2}$$ Después de este paso no sé dónde usar $a+b+c=ab+bc+ca$ .
Estos son muy básicos. Necesito una solución utilizando la desigualdad AM-GM.
Se agradecerá cualquier ayuda.
Respuestas
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La primera desigualdad para $n=3$ .
Por AM-GM $$\sum_{cyc}\frac{a}{b}+\frac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}=\frac{1}{3}\sum_{cyc}\left(\frac{2a}{b}+\frac{b}{c}\right)+\frac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\geq$$ $$\geq\sum_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^2}{b^2}\cdot\frac{b}{c}}+\frac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}=\sum_{cyc}\frac{a+b+c}{3\sqrt[3]{abc}}+\frac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\geq$$ $$\geq6\sqrt[6]{\left(\frac{a+b+c}{3\sqrt[3]{abc}}\right)^3\left(\frac{3\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\right)^3}=6.$$
Una prueba para $n=3$ del segundo.
Por AM-GM $$\sum_{cyc}\frac{a^2}{b}+\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\geq2\sqrt{\sum_{cyc}\frac{a^2}{b}\cdot\frac{9}{a^2+b^2+c^2}}.$$ Por lo tanto, es suficiente para demostrarlo: $$\sum_{cyc}\frac{a^2}{b}\geq a^2+b^2+c^2$$ o $$\sum_{cyc}\frac{a^2}{b}\sum_{cyc}ab\geq\sum_{cyc}a^2\sum_{cyc}a$$ o $$\sum_{cyc}(a^4c^2-a^3c^2b)\geq0,$$ que es cierto por AM-GM de nuevo: $$\sum_{cyc}a^4c^2=\frac{1}{6}\sum_{cyc}\left(4a^4c^2+b^4a^2+c^4b^2\right)\geq\sum_{cyc}\sqrt[6]{(a^4c^2)^4\cdot b^4a^2\cdot c^4b^2}=\sum_{cyc}a^3c^2b.$$
