Demuestre que el siguiente polinomio es irreducible sobre $\mathbb Q$

Question

Demuestre que el siguiente polinomio es irreducible sobre $\mathbb Q$ :

$x^7 + 28x^2 + 32x + 6$

Sé cómo utilizar el método del Criterio de Eisenstein y las pruebas con raíces. El problema es que no puedo utilizar los métodos aquí

Para el criterio de Eisenstein necesito un polinomio principal de grado superior a $1$

Para el método de la raíz necesito un polinomio de grado $2$ o $3$ .

¿Cómo puedo resolver el problema y cómo se llama el método que debo utilizar?

Answer 1

Aplicar el criterio de Eisenstein con $p = 2$ al polinomio $$\color{red}{1} x^7 + \color{blue}{28}x^2 + \color{blue}{32}x + \color{green}6$$

Tenemos que comprobar que

• $2 \not \mid \color{red}1$
• $2 \mid \color{blue}{28}$
• $2 \mid \color{blue}{32}$
• $2 \mid \color{green}{6}$ y $2^2 \not\mid \color{green}{6}$