Convergencia de $\int_0^{\pi/2}(1+\cos2x)^{-0.5}\,dx$

Question

He utilizado Wolfram Alpha para intentar calcular la integral $$\int_0^{\pi/2}(1+\cos2x)^{-0.5}\,dx$$ y me dicen que la integral no converge. Sin embargo, si intento $$\lim_{a\to0.5^-}\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{(1+\cos2x)^a}$$ sustituyendo los valores de $a$ cerca de $0.5$ Por ejemplo $a\in\{0.49,0.499,0.4999...\}$ la integral parece converger a $26.8877$ .

¿Es posible determinar analíticamente si la integral del título converge? Si es así, ¿qué técnica debo utilizar para deducirlo?

Answer 1

$$\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt{1+\cos(2x)}}=\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt{2}\left|\cos x\right|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{\sin x}\geq\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{x}=+\infty.$$ Para cualquier $\alpha<\frac{1}{2}$ tenemos, a través de la función Beta de Euler, $$ \int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{(1+\cos(2x))^{\alpha}}=\frac{1}{2^\alpha}\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{\left(\sin x\right)^{2\alpha}}=\frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma\left(\frac{1}{2}-\alpha\right)}{2^{\alpha+1}\,\Gamma(1-\alpha)} $$ y el $\Gamma$ tiene un polo simple con residuo $1$ en el origen. Se deduce que el límite deseado es $+\infty$ como se esperaba.

Answer 2

En el intervalo que está viendo $$ \frac{1}{(1+\cos 2x)^a}=\frac{1}{2^a\cos^{2a}x}. $$ Por lo tanto, la integral que estás viendo es $$ \frac{1}{2^a}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\cos^{2a}x}\,dx=\frac{1}{2^{a+1}}B(1/2,1/2-a) =\frac{1}{2^{a+1}}\sqrt{\pi}\frac{\Gamma(1/2-a)}{\Gamma(1-a)}. $$ Aquí Aquí Aquí $B$ denota la función Beta. La expresión del lado derecho se amplía a $+\infty$ como $a\to 1/2^-$ . Esto va de la mano con otras respuestas, mostrando que la integral con $a$ sustituido por $1/2$ es divergente.