En cuanto a los signos de los coeficientes de Clebsch-Gordan

Question

Tomemos, por ejemplo, el $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ caso de giro. Tenemos, para $J = 1, M = 0$ $$|1,0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|-1 / 2,1 / 2\rangle+|1 / 2,-1 / 2\rangle),$$ y, si seguimos la tabla estándar PDG para los coeficientes CG, tenemos también que, para $J = 0, M = 0$ $$|0,0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|1 / 2,-1 / 2\rangle-|-1 / 2,1 / 2\rangle).$$ $\textbf{My question is}$ : ¿No podría escribirse también este último estado como $$|0,0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|-1 / 2,1 / 2\rangle-|1 / 2,-1 / 2\rangle)?$$ Porque me parece lógico que los únicos requisitos sean tanto que el estado esté normalizado, como que $|0,0\rangle$ es ortogonal a $|1,0\rangle.\\ \\ $

$\textbf{In summary}$ ¿son correctas estas dos tablas? (La tabla de la izquierda es la tabla PDG sin editar).

Answer 1

Sí. Existe una convención de signos llamada convención de fase Condon-Shortley. El coeficiente $C_{\ell_1m_1;\ell_2m_2}^{LL}$ con $m_1=\ell_1$ se toma como positivo. El signo de todos los demás coeficientes se toma en relación con ese.

En su caso concreto, tenemos \begin{align} \vert 0,0\rangle = C_{\frac{1}{2}\frac{1}{2};\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}^{0,0} \vert \textstyle\frac{1}{2}\frac{1}{2}\rangle \vert\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle + C_{\frac{1}{2},-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\frac{1}{2}}^{0,0}\vert\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle \vert \frac{1}{2}\frac{1}{2}\rangle \end{align} por lo que el coeficiente de $\vert \frac{1}{2}\frac{1}{2}\rangle \vert \frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle$ se toma como positivo por convención .