¿El horizonte de sucesos de un agujero negro extremo es sólo una singularidad de coordenadas?

Question

Para agujeros negros genéricos se demuestra que el horizonte de sucesos es sólo una singularidad de coordenadas cambiando las coordenadas a un sistema donde la métrica está bien definida. Por ejemplo, tenemos coordenadas de tipo Kruskal $U_\pm\sim e^{\pm \kappa u_\pm}$ con $\kappa$ la gravedad de la superficie. En términos de estas coordenadas se suele encontrar $\mathrm ds^2\sim \frac{\exp(\text{stuff})}{r}\mathrm dU_+\mathrm dU_-+\cdots$ donde se pone de manifiesto que $r=r_h$ está bien, y sólo $r=0$ es una verdadera singularidad.

Sin embargo, para un agujero negro extremo, la gravedad superficial desaparece $\kappa=0$ y el truco anterior no funciona. De forma equivalente, si nos acercamos a la extremidad desde un agujero negro sub-extremo, las coordenadas $U_\pm$ se ven fácilmente mal definidos (por ejemplo, entonces son $\sim \frac{1}{r_+-r_-}$ que es singular como $r_-\to r_+$ ).

No he podido encontrar una prueba de que el horizonte de sucesos de los agujeros negros extremos sea no singular, y yo mismo no sé cómo arreglar el argumento estándar. ¿Existe un sistema de coordenadas sencillo en el que, por ejemplo, el Reissner-Nordström extremo se vea como no singular en $r=r_h$ ? Por cierto, estoy buscando un argumento del tipo anterior en lugar de una prueba abstracta de alto nivel (por ejemplo, demostrando la terminación geodésica o algún argumento complicado como ese).

Answer 1

Utilizaré este enfoque:

1. Empezar con una métrica que no sea singular para todos los $r\neq 0$ .

2. Transforme la coordenada temporal para obtener la forma más familiar de un agujero negro extremo.

La singularidad de las coordenadas en el horizonte entra en el paso 2, porque la propia transformación de coordenadas es singular. El hecho de que hayamos empezado con una métrica no singular muestra que la singularidad en el horizonte es un artefacto del sistema de coordenadas.

Agujero negro no giratorio con carga extrema

Dejemos que $d\Omega^2$ denotan la métrica estándar en la esfera unitaria, y utilizan las letras $w,r$ para las otras dos coordenadas. Comience con la métrica $$ dw^2-dr^2-V(r)(dw+dr)^2-r^2 d\Omega^2 \tag{1} $$ donde $V(r)$ es suave y finito para todo $r>0$ . Definir una función $f(r)$ por $$ \frac{d}{dr}f(r)=\frac{V(r)}{V(r)-1}, \tag{2} $$ y definir una nueva coordenada $t$ por $$ w = t + f(r). \tag{3} $$ Sustituye (3) en (1) y utiliza (2) para obtener esta identidad, tras un poco de álgebra: $$ dw^2-dr^2-V(r)(dw+dr)^2-r^2 d\Omega^2 = \big(1-V(r)\big)dt^2-\frac{dr^2}{1-V(r)}-r^2d\Omega^2. \tag{4} $$ La métrica (1) era no singular para todos los $r>0$ pero la transformación de coordenadas (3) introduce una singularidad en el valor de $r$ para lo cual $V(r)=1$ que, por tanto, es obviamente sólo una singularidad de coordenadas.

Para aplicar esto al caso de un agujero negro extremo cargado y no giratorio, defina la función $V(r)$ por $$ V(r) \equiv 1-\left(1-\frac{Q}{r}\right)^2. \tag{5} $$ Entonces (4) es la forma familiar de la métrica para el agujero negro extremo, y la métrica (1) es claramente no singular para todo $r>0$ . Misión cumplida.

En realidad, tenemos que ser un poco más cuidadosos antes de concluir que (1) se comporta bien cuando $V(r)=1$ porque el $dw^2$ en (1) se cancela cuando $V(r)=1$ . Una forma de ver que la métrica sigue siendo no degenerada allí es utilizar la identidad $dr^2+dr\,dw = (du^2-dw^2)/4$ con $u\equiv w+2r$ .

La métrica (1) es un ejemplo de Kerr-Schild métrica. Todo este análisis también funciona para agujeros negros cargados no extremos, simplemente generalizando la función (5).

Agujero negro sin carga con rotación extrema

El agujero negro rotatorio extremo puede tratarse de forma similar. Para un agujero negro de Kerr (extremo o no), la forma Kerr-Schild de la métrica es $$ \newcommand{\bfu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bfx}{\mathbf{x}} dw^2-d\bfx^2 - V(\bfx)\big(dw+\bfu(\bfx)\cdot d\bfx\big)^2 \tag{6} $$ donde las coordenadas independientes son $w$ y $\bfx=(x,y,z)$ y donde las funciones $\bfu=(u_x,u_y,u_z)$ y $V$ se definen por $$ u_x+iu_y = \frac{x+iy}{r(\bfx)+ia} \hspace{2cm} u_z = \frac{z}{r(\bfx)} \hspace{2cm} V = M\nabla\cdot\bfu, \tag{7} $$ donde $\nabla$ es el gradiente con respecto a $\bfx$ y donde la función $r(\bfx)$ se define implícitamente por las condiciones $$ \bfu^2=1 \hspace{2cm} r\geq 0. \tag{8} $$ Todo en las ecuaciones (6)-(8) es no singular para todo $r>0$ incluso en el caso extremo $a=M$ . Para relacionar esto con la forma Boyer-Lindquist de la métrica, definir nuevas coordenadas $t,\hat x,\hat y$ por $$ t = w - f(r) \hspace{2cm} \hat x = x+ay/r \hspace{2cm} \hat y = y-ax/r \tag{9} $$ con $$ \frac{d}{dr}f(r) = \frac{2Mr}{r^2-2Mr+a^2}, \tag{10} $$ y luego expresar $\hat x,\hat y,z$ en términos de $r$ y ángulos como siempre. Después de un lote de álgebra, esto debería reproducir la conocida forma Boyer-Lindquist de la métrica. La transformación de coordenadas (9)-(10) es singular donde $r^2-2Mr+a^2=0$ por lo que la forma Boyer-Lindquist resultante de la métrica tiene una singularidad de coordenadas allí, aunque la métrica original (6) no tiene tal singularidad.