Calcular $\int_{0}^{1} (x-f(x))^{2016} dx$ , dado $f(f(x))=x$ .

Question

Esta pregunta se ha formulado hoy en una prueba de acceso a un programa de matemáticas de grado, celebrada en toda la India.

Pregunta: $f$ es una función diferenciable en $[0,1]$ tal que $f(f(x))=x$ y $f(0)=1$ .

Encuentre el valor de $\int_{0}^{1} (x-f(x))^{2016} dx$ .

Intenté resolverlo sustituyendo $f(f(x))$ en lugar de $x$ pero no pudo avanzar mucho más. Se agradecerá cualquier sugerencia o solución.

Answer 1

Dejemos que

$$I = \int_0^1 (x - f(x))^{2016}\, dx$$

Sustituir $x = f(u)$ y nota que $f(0) = 1$ , $f(1) = 0$ para obtener

$$I = \int_1^0 (f(u) - u)^{2016} f'(u)\, du = - \int_0^1 (x - f(x))^{2016} f'(x)\, dx$$

Entonces,

$$2I = I + I = \int_{0}^{1} (x - f(x))^{2016} (1 - f'(x))\, dx$$

y podemos sustituirlo por $w = x - f(x)$ , $dw = (1 - f'(x))\, dx$ (señalando que $1 - f(1) = 1$ y $0 - f(0) = -1$ ) para obtener

$$2I = \int_{-1}^{1} w^{2016}\, dw = \frac{2}{2017}$$

y

$$I = \int_0^1 (x - f(x))^{2016}\, dx = \frac{1}{2017}$$

Answer 2

Una solución alternativa es observar que $f(f(x))=x$ significa que $f(x)$ es su propia inversa. Geométricamente, esto significa que la función será perpendicular a la línea $y=x$ en el punto de intersección y simétrico a cada lado de $y=x$ . Como es diferenciable sobre $[0,1]$ y se nos da que $f(0)=1$ Una de las funciones que se me ocurren es $f(x)=1-x$ .

Ahora que se conoce una posible función, el cálculo de la integral es fácil:

$$\int_0^1 (x-f(x))^{2016}\,dx=\int_0^1(2x-1)^{2016}\,dx=\frac{1}{2017}$$