Tasa de convergencia de la media en un entorno de teorema central del límite

Question

Hace poco hice una pregunta aquí que era lo siguiente:

Si $Z_1,Z_2,Z_3,\ldots$ son i.i.d. con $P(Z_i=-1) = P(Z_i=+1) = \frac 12,$ entonces tenemos por el Teorema Central del Límite que $\frac{\sum_{i=1}^n Z_i}{\sqrt{n}}\stackrel{d}{\to} \mathcal{N}(0,1),$ de modo que para cualquier función continua acotada $f,$ tenemos $\mathbb{E}f\left(\frac{\sum_{i=1}^n Z_i}{\sqrt{n}}\right)\to\mathbb{E}f(W)$ donde $W\sim\mathcal{N}(0,1).$ Ahora, $|\cdot|$ no es una función acotada, por lo que no es necesariamente cierto que

$$\mathbb{E}\left|\frac{\sum_{i=1}^n Z_i}{\sqrt{n}}\right|\to\mathbb{E}|W|.$$

Mi pregunta es si lo anterior es cierto para esta distribución de $Z_i.$ Si no es así, ¿qué hace $\mathbb{E}\left|\frac{\sum_{i=1}^n Z_i}{\sqrt{n}}\right|$ convergen a (si es que hay algo)?

De la respuesta dada aprendí que la integrabilidad uniforme garantiza la convergencia $\mathbb{E}\left|\frac{\sum_{i=1}^n Z_i}{\sqrt{n}}\right|\to\mathbb{E}|W|.$ Sin embargo, estoy interesado en conocer la tasa de convergencia para este ejemplo en particular. ¿Pueden ayudarme con alguna cota sobre la velocidad de convergencia de la secuencia?

Answer 1

Definir $Y_n:=n^{-1/2}|\sum_{j=1}^nZ_j|$ .

A partir del teorema de Berry-Esseen, tenemos para alguna constante universal $C$ , $$\tag{1}|\mu\{Y_n>t\}-\mu\{|W|>t\}|\leqslant \frac C{\sqrt n}.$$ Para cualquier positivo $R$ , $\mathbb E[Y_n\chi_{\{Y_n>R\}}|\leqslant R^{-1}$ y una desigualdad similar es válida para $|W|$ . Utilizando (1) y la fórmula $\mathbb E[X]=\int_0^{+\infty}\mu\{X>t\}\mathrm dt$ válido para una variable aleatoria no negativa $X$ obtenemos $$\tag{2}|\mathbb E[Y_n]-\mathbb E|Z||\leqslant C\left(\frac{R}{\sqrt n}+\frac 1R\right).$$ Optimizando la RHS de (2) en $R$ obtenemos que para alguna constante $C$ independiente de $n$ , $$|\mathbb E[Y_n]-\mathbb E|Z||\leqslant \frac{C}{n^{1/4}}.$$