Hallar n a partir de la suma

Question

Me encontré con esta expresión mientras leía un capítulo de un libro:

$$\sum_{i=0}^{n}\frac{e^{-1500}1500^i}{i!} \ge 0.95$$

Y resuelven para $n$ y consiguió $n = 1564$ de la expresión, pero no hay detalles sobre cómo obtener $n$ . Puede alguien explicar cómo obtener ese número para $n$ ?

El libro es Discrete Event System Simulation de Jerry Banks. Está en la 5ª edición, capítulo 6, ejemplo 6.15, si alguien quiere buscarlo.

Answer 1

La distribución de probabilidad es la Distribución de Poisson con $\lambda=1500$ . Para los grandes $\lambda$ la distribución es aproximadamente normal con media $\lambda$ y la varianza $\lambda$ , por lo que la desviación estándar $\sigma=\sqrt \lambda$ . Para una distribución normal unilateral se tiene $5\%$ de la zona por encima de la media + $1.648 \sigma$ que aquí es $1500+1.648 \sqrt {1500} \approx 1564$

Answer 2

Desde un punto de vista puramente algebraico $$\sum_{i=0}^{n}\frac{e^{-1500}1500^i}{i!} =\frac{\Gamma (n+1,1500)}{\Gamma (n+1)}$$ Así, se puede considerar que buscamos el cero de la función $$f(x)=\frac{\Gamma (x+1,1500)}{\Gamma (x+1)}-0.95$$ que no está muy bien acondicionada. Mejor será buscar el cero de $$g(x)=\log \left(\frac{\Gamma (x+1,1500)}{\Gamma (x+1)}\right)-\log(0.95)$$ Recordando que $\frac{\Gamma (m,m)}{\Gamma (m)} < \frac 12$ Utilicemos el método de Newton con $x_0=1500$ . Desde $g(x_0) <0$ y $g''(x_0) <0$ por el teorema de Darboux, no nos encontraremos con ningún rebasamiento de la solución que es $x=1563.485020$ .

Sólo por diversión, pide a Wolfram Alpha que trace $g(x)$ para $1500 \leq x \leq 1600$ .