Teoría del campo medio y correlaciones espaciales en física estadística

Question

En la física estadística, la teoría del campo medio (MFT) se introduce a menudo elaborando el modelo de Ising y sus propiedades. Desde el punto de vista del modelo de espín, la aproximación de campo medio viene dada por la exigencia de que :

Ecuación(1) $\hspace{75pt}$$ \N - Ángulo S_i S_j \N - Rangos = \N - Ángulo S_i \N - Rangos S_j \N - Rangos $ for $ i\neq j$

Donde $S_i$ es el observable de espín local soportado en el sitio $i$ de una red dada (en el caso clásico de Ising, es sólo $\pm1$ ).

Divido mis preguntas/comentarios en dos partes :

Parte 1 (a): Sé que hay formas más sofisticadas de formular con mucho más rigor la teoría de campo medio en la física estadística, pero ¿es la relación anterior una definición equivalente para el caso particular de un modelo de espín?

Parte 1 (b) : Dado que la relación anterior es una definición equivalente de MFT para un modelo de espín, ¿es cierto que : "La teoría de campo medio es equivalente a eliminar cualquier correlación espacial de espín de nuestro sistema". ? Creo que esto se deduce de la Ec.(1).

Parte 2 : Sin embargo, y esto es lo que me confunde : ¿Por qué podemos definir una longitud de correlación $\xi$ y un exponente crítico correspondiente $\nu$ (p. ej. $\nu=1/2$ para la MFT aplicada al modelo de Ising) a partir de la función de correlación de dos puntos conectados ?

Ecuación(2) $\hspace{75pt}\langle S_iS_j \rangle - \langle S_i \rangle \langle S_j\rangle\sim e^{-|i-j|/\xi}$

Para mí, la Ec. (1) y la Ec. (2) parecen contradictorias para las distancias $|i-j|$ más pequeña que la longitud de correlación, pero ambas se derivan de la MFT...

Answer 1

En resumen, creo que las respuestas son:

1) sí, la aproximación $ \langle S_i S_j \rangle \approx \langle S_i \rangle \langle S_j \rangle $ le da el comportamiento correcto para un sistema de giro con homogéneo valores de giro, pero

2) la teoría del campo medio es mucho más que este nivel de cálculo

La aproximación $$ \langle S_i S_j \rangle \approx \langle S_i \rangle \langle S_j \rangle $$ proporciona una aproximación para determinar cuál es el valor medio del espín dentro del modelo de Ising, pero es insuficiente para calcular realmente $ \langle S_i S_j \rangle$ como ha señalado. El resultado de esta aproximación es una energía libre en términos del campo medio $\langle S \rangle = m$ . Para obtener la función de correlación de dos puntos, tenemos que determinar el coste energético por tener no uniforme $m({\bf r})$ . Una forma natural de hacerlo es utilizar la expansión de Landau, es decir, escribimos (véase, por ejemplo, el capítulo 4 de Chaikin y Lubensky) $$ F = \int d^d x f + \int d^d x \frac{c}{2} |\nabla m |^2 $$ donde $f(x) = \frac{1}{2} r m^2 + u m^4 + \cdots $ .

La energía libre del primer término es algo que se puede obtener al hacer la aproximación $\langle S_i S_j \rangle \approx \langle S_i \rangle \langle S_j \rangle$ . Sin embargo, esto no le permite obtener el valor $c$ que es esencialmente un término fenomenológico (se puede relacionar con la tensión lineal efectiva entre dominios en el modelo de Ising). Siempre que se ve una descripción de la función de correlación en la MFT, se ha incluido algún término como éste. También existe un esquema de MFT equivalente en la teoría de campos en el que la MFT puede derivarse mediante una aproximación de punto de silla (véase Statistical Physics of Fields de Kardar, por ejemplo). Sin embargo, no recuerdo de antemano cómo pasar de un modelo de Ising a la teoría de campos apropiada... Creo que se hace con una transformación Hubbard-Stratonovich, pero no recuerdo los detalles.