Endomorfismos de un ideal máximo de un anillo local

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo local conmutativo con ideal máximo $\mathfrak{m}$ . ¿Es cierto en general que $\text{Hom}_R(\mathfrak{m},\mathfrak{m})\cong \text{Hom}_R(\mathfrak{m}, R)$ ? ¿Y si la dimensión de Krull de $R$ es igual a uno?

Answer 1

Sí, esto es siempre cierto.

Supongamos que $\text{Hom}_R(\mathfrak m,\mathfrak m)\neq\text{Hom}_R(\mathfrak m,R)$ , por lo que tenemos un homomorfismo $f:\mathfrak m\rightarrow R$ con imagen no contenida en $\mathfrak m$ : decir $f(x)\in R^\times$ para algunos $x\in\mathfrak m$ . Podemos suponer que $f(x)=1$ (ya que $f(x/f(x))=1$ ). Ahora, debemos tener $y=yf(x)=f(xy)=xf(y)$ para todos $y\in\mathfrak m$ . Por lo tanto, $\mathfrak m$ es generado por $x$ y la multiplicación por $x$ es inyectiva (ya que $xy\neq0$ para $0\neq y\in\mathfrak m$ se deduce de esta ecuación y obviamente $xy\neq0$ para $y\in R^\times$ ). Pero entonces tenemos $\mathfrak m\cong R$ como $R$ -módulos.