Hace $F(x)=\int ^{2x-x^2}_0 cos(\frac{1}{1+t^2})dt$ ¿tiene un valor máximo o mínimo?

Question

¿La función

$F(x)=\int ^{2x-x^2}_0 cos(\frac{1}{1+t^2})dt$ ¿tiene un valor máximo o mínimo?

Intento:

Por el teorema fundamental del cálculo, tenemos

$F'(x)=cos(\frac{1}{1+(2x-x^2)^2})(2-2x)$

$F'(x)=0$ cuando $x=1$ y para una raíz que hace $cos(.)=0$

dependiendo de esta raíz. Tenemos un máximo o un mínimo.

Answer 1

El término $\cos\left(\frac{1}{1+(2x-x^2)}\right)$ es siempre positivo, ya que $0\lt \frac{1}{1+(2x-x^2)^2}\le 1$ .

De ello se desprende que $F'(x)\gt 0$ para $x\lt 1$ y $F'(x)\lt 0$ para $x\gt 1$ . Así, $F$ va aumentando hasta que $x=1$ y, a continuación, disminuyendo, y por lo tanto $F(x)$ alcanza un máximo absoluto en $x=1$ . No existe un mínimo absoluto (o local).