Categorías suficientemente agradables, podemos definir un objeto exponencial $B^A$ % de objetos todos $A$y $B$. Ahora tiendo a pensar en $B^A$ como una internalización de $\mathrm{Hom}(A,B)$ a la categoría. ¿Esto plantea la pregunta: dado un objeto $A$ viviendo en una categoría lo suficientemente agradable, existe una forma de definir un nuevo objeto $A!$ que de alguna manera "internaliza" el conjunto de todos los isomorfismos $A \rightarrow A$?
Respuesta
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Sí, si el ambiente categoría $\mathcal{C}$ ha pullbacks (y, por supuesto, es cartesiana cerrada). Voy a denotar $B^A = \underline{\mathrm{Hom}}(A,B)$, y la construcción de un subobjeto $\underline{\mathrm{Isom}}(A,B)$ como sigue: Considerar los morfismos $$\underline{\mathrm{Hom}}(A,B) \times \underline{\mathrm{Hom}}(B,A) \to \underline{\mathrm{Hom}}(A,A) \times \underline{\mathrm{Hom}}(B,B) \longleftarrow \star$$ dado por $(f,g) \mapsto (gf,fg)$ $(id_A,id_B) \leftarrow \star$ (si la notación no es claro, preguntar). Deje $\underline{\mathrm{Isom}}(A,B)$ ser su retirada. La composición de la $\underline{\mathrm{Isom}}(A,B) \to \underline{\mathrm{Hom}}(A,B) \times \underline{\mathrm{Hom}}(B,A) \to \underline{\mathrm{Hom}}(A,B)$ es un monomorphism, que exhibe el subobjeto de isomorphisms de$A$$B$.
Para $A=B$ yo no usaría $A!$ como una notación, sino $\underline{\mathrm{Aut}}(A)$.
Un ejemplo típico es $\mathcal{C}=\mathsf{Sh}(X)$, la categoría de poleas en un espacio de $X$. Si $A,B$ son poleas en $X$, el isomorfismo gavilla $\underline{\mathrm{Isom}}(A,B)$ es el subsheaf de la habitual homomorphism gavilla $\underline{\mathrm{Hom}}(A,B)$ cuyas secciones en $U \to X$ son los isomorphisms $A|_U \to B|_U$.
