Problemas con las cuadraturas

Question

Estoy teniendo problemas al calcular la cuadratura, y probablemente hay algo que no entiendo teóricamente. He buscado por todas partes, pero nadie parece explicar de una manera buena el problema

Tengo un triángulo simple, con coordenadas [[(0, 0); (1, 0); (0, 1)]]

Sobre este dominio quiero calcular la integral de $x^2$ .

Haciéndolo a mano y con wolfram, el resultado es $0.16$ . Con la cuadratura es la mitad del valor. He probado con diferentes puntos y pesos pero el resultado es siempre el mismo. Yo uso lo siguiente:

p = [(0.16666666666667, 0.16666666666667),
     (0.16666666666667, 0.66666666666667),                                    
     (0.66666666666667, 0.16666666666667)]
w = [1/6, 1/6, 1/6]

La fórmula que utilizo es

res = 0;

for i = 1:size(p,1)

$res = res + f(p_i) * f(p_i) * w_i;$

end

value = res;  

donde $f(x,y) = x$

Answer 1

Para el integrando constante uno, los pesos suman $\dfrac12$ que es la zona correcta.

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La verdadera integral es

$$\int_0^1\int_0^{1-x}x^2\,dy\,dx=\int_0^1 x^2(1-x)\,dx=\frac1{12}.$$

La estimación numérica,

$$\frac16\left(\frac1{36}+\frac1{36}+\frac4{9}\right)=\frac1{12}.$$