Derivada temporal de la inversa de los difeomorfismos de flujo

Question

Supongamos que tengo un campo vectorial dependiente del tiempo $V(t)$ en una variedad riemanniana $\mathcal{M}$ que está generado por un grupo de difeomorfismo $\{\varphi_t\}_{t \in I} \in \operatorname{Diff}(\mathcal{M})$ . ¿Cómo puedo demostrarlo?

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} (\varphi_{t}^{-1})=-\left(\varphi_{t}^{-1}\right)_{*}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \varphi_{t}\right)$$

No sé precisamente cómo dar sentido a esta derivada temporal. Creo que puede deberse a alguna forma de la regla de la cadena, pero estoy perdido en cómo demostrar la igualdad anterior y lo he estado intentando durante un tiempo. Apreciaría mucho alguna ayuda. Se puede encontrar más contexto aquí (He encontrado la igualdad en la página $16$ ).

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En cuanto a mis comentarios en la respuesta de Ivo, haré algunas consideraciones que creo que pueden justificar las dos igualdades. En la primera, queremos calcular (para un $s_0$ ) la derivada de la curva $t \mapsto \tilde{f}(t) \doteq \varphi_{t}^{-1}(\varphi_{s_0}(p))$ . Tenemos:

$$ \frac{\partial f}{\partial t}(t_0,s_0) = \left. \left( \frac{\rm d}{\mathrm{d}t} \tilde{f} \right) \right|_{t = t_0} = \mathrm{d}\tilde{f}_{t_0}(1) = \left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\varphi_t^{-1}\right)\Bigg|_{\varphi_{t_0}^{-1}(\varphi_{s_0}(p))} \in T_{\tilde{f}(t_0)} M = T_{\varphi_{t_0}^{-1}(\varphi_{s_0}(p))} M$$

Y para la segunda, queremos calcular la derivada de la curva $s \mapsto \bar{f}(s) = \varphi_{t_0}^{-1}(\varphi_{s}(p)) = (\varphi_{t_0}^{-1} \circ \alpha)(s)$ (donde $\alpha$ se define obviamente). Por la regla de la cadena obtenemos:

$$\frac{\partial f}{\partial s}(t_0,s_0) = \mathrm{d} \bar{f}_{s_0}(1) = d(\varphi_{t_0}^{-1})_{\alpha(s_0)}(\mathrm{d} \alpha_{s_0}(1)) = (\varphi_{t_0}^{-1})_\ast\left(\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}s}\varphi_s\right)(p)\right)$$

Answer 1

No tiene la propiedad de grupo $\varphi_{t+s} = \varphi_t\circ \varphi_s$ si $V$ depende del tiempo. Esto sólo es válido si $V$ es autónomo. Lo único que tiene es que $\varphi_0 = {\rm Id}$ . También es bueno señalar que $({\rm d}/{\rm d}t)(\varphi_t) = V \circ \varphi_t$ por definición. Pero en cualquier caso, se trata efectivamente de un caso de la regla de la cadena, como sigue: fijo $p \in M$ tenemos la igualdad $$\varphi_t(\varphi_t^{-1}(p)) = p.$$ Por supuesto, queremos tomar la derivada de ambos lados con respecto a $t$ . Para el lado derecho la vida es grande y se obtiene el cero. Para el lado izquierdo, se aplica el truco clásico: dejemos que $f(t,s) = \varphi_t^{-1}(\varphi_s(p))$ y nota que lo que queremos es $$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} f(t,t) = \frac{\partial f}{\partial t}(t,t) + \frac{\partial f}{\partial s}(t,t).$$ Ahora, tenemos que $$\frac{\partial f}{\partial t}(t,s) = \left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\varphi_t^{-1}\right)\Bigg|_{\varphi_t^{-1}(\varphi_s(p))} \implies \frac{\partial f}{\partial t}(t,t) = \left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\varphi_t^{-1}\right)\Bigg|_p,$$ y también que $$\frac{\partial f}{\partial s}(t,s) = (\varphi_t^{-1})_\ast\left(\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}s}\varphi_s\right)\Bigg|_p\right) \implies \frac{\partial f}{\partial s}(t,t) = (\varphi_t^{-1})_\ast\left(\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\varphi_t\right)\Bigg|_p\right)$$ Omitiendo $p$ tenemos que $$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\varphi_t^{-1} = -(\varphi_t^{-1})_\ast \left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\varphi_t\right)$$ como se quería.