Si $X\geq0$ es una variable aleatoria, demuestre que $\lim\limits_{n\to\infty}\frac1nE\left(\frac{1}{X}I\left\{X>\frac{1}{n}\right\}\right)=0$

Question

Si $X\geq0$ es una variable aleatoria, entonces demuestre que $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \cdot E\bigg(\dfrac{1}{X}I\bigg\{X>\dfrac{1}{n}\bigg\}\bigg)=0$$

Una pista sería muy apreciada. He estudiado la teoría de la medida, pero supongo que esto se puede resolver con un simple análisis.

Answer 1

Dejemos que $X_n=\frac{1}{n}\frac{1}{X}\mathbf{1}_{[X>\frac{1}{n}]}$ . Demostrar que $|X_n|<1$ y $X_n$ converge a $\mathbf{0}$ . Entonces usa el Teorema de Convergencia Dominada..