Nota: Mejor respuesta a continuación, dejándola para la posteridad . Supongamos por ahora que $\Omega=\mathbb{R}$ y $\mathcal{F}$ es el Borel $\sigma$ -y dejemos que $\mu$ sea la medida dada en $\mathbb{R}$ . Entonces podemos escribir $\mu((-\infty,x])=g(x)$ para algún tipo de monotonía $g$ y como no tenemos átomos $g$ es continua. Sea $X^{-1}((-\infty,x])=(-\infty,f(x)]$ para algún incremento monótono $f(x)$ satisfaciendo $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ es decir $\{X(\omega)\leq x\}\Leftrightarrow\{\omega\in(-\infty,f(x)]\}$ . Esto equivale a definir $X(\omega)=y$ para todos $\omega\in[\lim_{z\uparrow y}f(z),f(y)]$ que está bien definida si $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ . Entonces podemos demostrar que $\mathbb{P}[X\leq x]=g(f(x))$ . Así que ahora las preguntas son, ¿podemos hacer $g(f(x))$ diferenciable en todos los $\mathbb{R}$ para funciones arbitrariamente extrañas $g$ que son continuas y satisfacen $g(-\infty)=0$ , $g(\infty)=1$ ?
Creo que la respuesta es sí, y he oído afirmaciones en ese sentido, pero no puedo encontrar una prueba real. Es más bien una pregunta de análisis, y bastante elemental, así que si publicas una pregunta con la etiqueta de análisis uno de esos chicos podría ayudarte.
Actualización : Gracias a @Did por la aclaración. Basta con poder construir una variable aleatoria uniformemente distribuida en el conjunto $\{\frac{i}{2^n}\}_{i=1}^{2^n}$ para cualquier $n$ . Utiliza el axioma de elección para crear inductivamente las siguientes particiones. Para $n=1$ , dejemos que $E_1^{(1)}$ , $E_2^{(1)}$ partición $\Omega$ y satisfacer $\mathbb{P}[E_i^{(1)}]=\frac{1}{2}$ para $i=1,2$ . En general $n\geq 2$ y $1\leq k\leq 2^{n-1}$ , dejemos que $E_{2k-1}^{(n)},E_{2k}^{(n)}$ partición $E_k^{(n-1)}$ en dos conjuntos de igual probabilidad. Sea $X_n(\omega)=\frac{1}{2^n}\sum_{i=1}^{2^n}i1_{\omega\in E_i^{(n)}}$ . Entonces $X_n$ está uniformemente distribuido en el conjunto $\{\frac{i}{2^n}\}_{i=1}^{2^n}$ . Además, para cada $\omega\in\Omega$ $X_n(\omega)$ es monótonamente decreciente a medida que $n\rightarrow\infty$ Así que $X_n$ converge puntualmente (y por lo tanto casi con seguridad) a alguna variable aleatoria $X$ . Pero la convergencia casi segura implica la convergencia en la distribución por lo que $X$ debe ser un $\text{Uniform}[0,1]$ variable aleatoria.
