Identidades trigonométricas: $ \frac{1+\cos(a)}{1-\cos(a)} + \frac{1-\cos(a)}{1+\cos(a)} = 2+4\cot^2(a)$

Question

La verdad es que no sé cómo empezar, así que si me falta alguna información, por favor, decidme cuál es y os pongo al corriente :).

Esta es la cuestión que no puedo resolver: $$ \frac{1+\cos(a)}{1-\cos(a)} + \frac{1-\cos(a)}{1+\cos(a)} = 2+4\cot^2(a) $$

Necesito demostrar sus identidades trigonométricas.

Tengo el $5$ conjunto básico de reglas, podría escribirlas todas aquí pero supongo que no es necesario, si lo es por favor hágamelo saber ya que no va a ser sencillo de escribir.

Tengo más de $40$ preguntas como estas y no pude entender como probarlas igual, mi mejor fue $4 \cot^2(a) = 2 + 4 \cot^2(a)$

Gracias por todo.

Answer 1

Simplifica:

$$\frac{1 + \cos a}{1 - \cos a} + \frac{1-\cos a}{1 + \cos a} \equiv \frac{(1+ \cos a)^2 + (1-\cos a)^2}{(1-\cos a)(1+\cos a)}$$

El denominador es la diferencia de dos cuadrados, ampliar el numerador:

$$\begin{align} \frac{2 + 2\cos^2 a}{1 - \cos^2 a} &\equiv \frac{2(1 + \cos^2 a)}{\sin^2 a} \\ & \equiv \frac{2}{\sin^2 x} + 2\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \\ & \equiv 2\csc^2 x + 2\cot^2 x \ \\ & \equiv 2(1 + \cot^2 x) + 2\cot^2 x \\ & \equiv 2 + 4\cot^2 x\end{align}$$

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Algunas explicaciones:

1. La primera línea se desprende de $\frac{a+b}{c} \equiv \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$

2. Desde $\frac{1}{\sin x} = \csc x \Rightarrow \frac{1}{\sin^2 x} \equiv \csc^2 x$ . Lo utilizamos en la segunda línea.

3. Desde $\cot x \equiv \frac{1}{ \tan x} \equiv \frac{\cos x}{\sin x}$ entonces $\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$ usamos esto en la tercera línea.

4. Tenga en cuenta que como $\sin^2 x + \cos^2 x \equiv 1$ entonces podemos dividir ambos lados de esta identidad por $\sin^2 x$ para conseguir $1 + \cot^2 x \equiv \csc^2 x$ usamos esto en la penúltima línea.

Answer 2

Un enfoque general es tratar de convertir el lado izquierdo en el derecho. En la práctica, esto suele hacerse simplificando AMBOS lados, pero asegurándose de que cada paso de la simplificación es invertible. Así que si tienes algo como

$$ \sin^2 x + \cos^2 x + \ldots = \ldots $$ está bien convertir eso en $$ 1 + \ldots = \ldots. $$

Por otro lado, si tiene algo como $$ \sin^2 x = \cos^2 y $$ no puedes convertir esto en $$ \sin x = \cos y $$ porque es posible que $$ \sin x = -\cos y; $$ las dos ecuaciones más simples implican la de los cuadrados, pero la de los cuadrados no implica ninguna de las más simples.

Mi preferencia es empezar por cambiar todo a senos y cosenos, eliminando todas las tangentes, secantes, cotangentes, etc. En el caso de tu problema, eso significa cambiar $$ \frac{1+\cos(a)}{1-\cos(a)} + \frac{1-\cos(a)}{1+\cos(a)} = 2+4\cot^2(a) $$ en $$ \frac{1+\cos(a)}{1-\cos(a)} + \frac{1-\cos(a)}{1+\cos(a)} = 2+4\frac{\cos^2(a)}{\sin^2 (a)}. $$ El siguiente paso, a menudo ignorado, es observar para qué valores de $a$ la igualdad no tiene sentido; en este caso, son valores de $a$ para lo cual $\cos a = \pm 1$ o $\sin a = 0$ . En cualquiera de estos casos, tienes una división por cero. Así que en este punto, escribo

"De aquí en adelante, asume que $a$ no es un múltiplo de $\pi$ para que $\cos a \ne \pm 1$ y $\sin a \ne 0.$ "

Luego multiplico por los denominadores para eliminar las fracciones. Eso significa multiplicar por $1-\cos a$ , entonces por $1 + \cos a$ y, a continuación, por $\sin^2 a$ . Los dos primeros pueden combinarse: $(1 - \cos a)(1+\cos a) = 1 - \cos^2 a= \sin^2 a$ Así que resulta que esto también se combina con el tercero. Así que: multiplica todo lo de la izquierda por $(1-\cos a)(1+\cos a)$ y todo lo de la derecha por $\sin^2 a$ (¡que es lo mismo!).

Esto es posible porque la multiplicación por un número distinto de cero puede invertirse multiplicando por su inverso multiplicativo.

Así que los dos lados originales son iguales si y sólo si son iguales después de multiplicar por lo del párrafo anterior.

Despliegue, aplique el $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ regla tan a menudo como puedas, y probablemente descubrirás que son iguales.

Answer 3

$\dfrac{1+\cos x}{1-\cos x}=\dfrac{(1+\cos x)^2}{1-\cos^2x}$ $=\left(\dfrac{1+\cos x}{\sin x}\right)^2=(\csc x+\cot x)^2$

Como $\dfrac{1+\cos x}{1-\cos x}\cdot\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}=1$ para $\cos x\ne\pm1$

$\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}=(\csc x-\cot x)^2$ como $(\csc x+\cot x)(\csc x-\cot x)=1$

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 4

Poner $t=\tan (\frac a2)$ Tienes $$\frac{1+\cos(a)}{1-\cos(a)}=\frac{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}}{1-\frac{1-t^2}{1+t^2}}=\frac{1}{t^2}$$ Además de $\cot(a)=\frac{1-t^2}{2t}$ por lo que tenemos que demostrar $$\frac{1}{t^2}+t^2=2+4\left(\frac{1-t^2}{2t}\right)^2$$ El cálculo inmediato da $$\frac{1+t^4}{t^2}=\frac{1+t^4}{t^2}$$ lo cual es obviamente cierto.