¿Dónde estoy violando las reglas?

Question

Fascinado por la aproximación $$\sin(x) \simeq \frac{16 (\pi -x) x}{5 \pi ^2-4 (\pi -x) x}\qquad (0\leq x\leq\pi)$$ proposed, more than 1400 years ago by Mahabhaskariya of Bhaskara I (a seventh-century Indian mathematician) (see here), I considered the function $$\sin \left(\frac{1}{2} \left(\pi -\sqrt{\pi ^2-4 y}\right)\right)$$ which I expanded as a Taylor series around $y=0$. This gives $$\sin \left(\frac{1}{2} \left(\pi\sqrt{\pi ^2-4 y}\right)\right)=\frac{y}{\pi }+\frac{y^2}{\pi ^3}+\left(\frac{2}{\pi ^5}-\frac{1}{6 \pi ^3}\right) y^3+O\left(y^4\right)$$ Now, I made (and may be, this is not allowed) $y=(\pi-x)x$. La sustitución, la puedo obtener $$\sin(x)=\frac{(\pi -x) x}{\pi }+\frac{(\pi -x)^2 x^2}{\pi ^3}+\left(\frac{2}{\pi ^5}-\frac{1}{6 \pi ^3}\right) (\pi -x)^3 x^3+\cdots$$ I did not add the $S\left(.\right)$ a propósito, ya no feeeling muy cómodo.

Lo que es realmente hermoso, es que la última expansión coincide casi exactamente la función de $\sin(x)$ para el rango de $(0\leq x\leq\pi)$ y puede ser muy útil para una fácil y simple aproximado de las evaluaciones de las integrales definidas, tales como$$I_a(x)=\int_0^x \frac{\sin(t)}{t^a}\,dt$$ under the conditions $(0\leq x\leq \pi)$ and $<2$.

Yo podría hacer lo mismo con el más simple de Padé approximant y obtener $$\sin(x)\approx \frac{(\pi -x) x}{\pi \left(1-\frac{(\pi -x) x}{\pi ^2}\right)}=\frac{5\pi(\pi -x) x}{5\pi ^2-5(\pi -x) x}$$ which, for sure, is far to be as good as the magnificent approximation given at the beginning of the post but which is not very very bad (except around $x=\frac \pi 2$).

El problema es que no estoy seguro de que tengo el derecho de hacer las cosas como esa.

Te agradecería mucho si pudieras decirme qué estoy haciendo mal y/o uso ilegal de este enfoque.

Editar

Después de robjohn la respuesta y recomendaciones, he mejorado la aproximación a la escritura como una approximant $$f_n(x)=\sum_{i=1}^n a_i \big(\pi-x)x\big)^i$$ and minimized $$S_n=\int_0^\pi\big(\sin(x)-f_n(x)\big)^2$$ with respect to the $a_i$s'.

Lo que se obtiene es $$a_1=\frac{60480 \left(4290-484 \pi ^2+5 \pi ^4\right)}{\pi ^9} \approx 0.31838690$$ $$a_2=-\frac{166320 \left(18720-2104 \pi ^2+21 \pi ^4\right)}{\pi ^{11}}\approx 0.03208100$$ $$a_3=\frac{720720 \left(11880-1332 \pi ^2+13 \pi ^4\right)}{\pi ^{13}}\approx 0.00127113$$ These values are not very far from those given by Taylor ($\aprox 0.31830989$), ($\aprox 0.03225153$), ($\aprox 0.00116027$) pero, como se muestra a continuación, cambiar muy drásticamente los resultados.

Los errores oscilan por encima y por debajo de la línea de cero y, por lo que se considera la gama, son todos más pequeños que $10^{-5}$.

Después de minimización, $S_3\approx 6.77\times 10^{-10}$, mientras que, para la serie de Taylor, se $\approx 6.36\times 10^{-7}$.

Answer 1

Un par de aproximaciones

Al hacer aproximaciones, no es legal o ilegal. Hay cosas que funcionan mejor y cosas que no. Al hacer aproximaciones que se supone que deben funcionar en un amplio rango de valores, a menudo la llanura serie de Taylor no es el mejor camino a seguir. En su lugar, un polinomio o función racional que coincide con la función en un número de puntos es mejor. $$ \frac{\pi(\pi-x)x}{\pi^2-\left(de 4\pi\right)(\pi-x)x}\etiqueta{1} $$ coincide con los valores y las laderas de $\sin(x)$ a $0$, $\frac\pi2$, y $\pi$. Sin embargo, es siempre baja.

Si en lugar de ello, hemos partido de los valores en $0$, $\frac\pi6$,$\frac\pi2$, $\frac{5\pi}6$, y $\pi$ tenemos Mahabhaskariya la aproximación $$ \frac{16(\pi-x)x}{5\pi^2-4(\pi-x)x}\etiqueta{2} $$ que es alta y baja, y el máximo error es acerca de $\frac13$ de la cara de error.

Una buena polinomio cuadrático de aproximación también coincide con los valores en $0$, $\frac\pi6$,$\frac\pi2$, $\frac{5\pi}6$, y $\pi$ $$ \frac{31}{10\pi^2}(\pi-x)x+\frac{18}{5\pi^4}(\pi-x)^2x^2\etiqueta{3} $$

El máximo error es acerca de $\frac23$ que de Mahabhaskariya.

Si queremos extender a un polinomio cúbico, podemos tratar de coincidir con los valores en $0$, $\frac\pi6$, $\frac\pi4$, $\frac\pi2$ $$ \tfrac{9711-6400\sqrt2}{210\pi^2}(\pi-x)x+\tfrac{-7194+5120\sqrt2}{15\pi^4}(\pi-x)^2x^2+\tfrac{43488-30720\sqrt2}{35\pi^6}(\pi-x)^3x^3\tag{4} $$

El máximo error de aproximación $(4)$ es de alrededor de $\frac1{40}$ que el de la aproximación a $(3)$.

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Análisis de las funciones en la pregunta

La función $$ \frac{\pi(\pi-x)x}{\pi^2-(\pi-x)x}\etiqueta{5} $$ tiene un máximo de error acerca de la $40\times$ tan grande como $(3)$

La función $$ \frac{(\pi-x)x}\pi+\frac{(\pi-x)^2x^2}{\pi^3}+\left(\frac2{\pi^5}-\frac1{6\pi^3}\right)(\pi-x)^3x^3\tag{6} $$ ha $30\times$, el error máximo de $(4)$. Sin embargo, los coeficientes de $(6)$ son más atractivos.