Estados coherentes - problema de álgebra de operadores con motivación física

Question

Motivación: Tengo un problema matemático motivado por la teoría cuántica de campos en física. Debería ser bastante fácil de demostrar, pero por alguna razón no puedo hacerlo.

Introducción: Que haya operadores $\hat{a_i}$ y $\hat{a_i}^{\dagger}$ para algún número entero $i$ . Sea el estado (un elemento del espacio vectorial) $\left | 0 \right >$ . Existe una relación de conmutación tal que $$ \left [ \hat{a_i} , \hat{a_j}^{\dagger} \right ] = \left ( \hat{a_i} \hat{a_j}^{\dagger} - \hat{a_j}^{\dagger} \hat{a_i} \right ) = \delta_{ij} $$ Sostiene que $a_i \left | 0 \right > = 0$ para todos $i$ .

El problema: Sea un estado (un elemento del espacio vectorial) $$ \left | \psi \right > = e^{\sum_i \phi_i \hat{a_i}^{\dagger}} \left | 0 \right > \, , $$ donde defino la exponencial a través de su serie de Taylor como $e^{\hat{A}} = 1 + \hat{A} + \hat{A}\hat{A}/2! + \hat{A}\hat{A}\hat{A}/3! + \dots$ .

Quiero demostrar que $$ \hat{a_x} \left | \psi \right > = \phi_x \left | \psi \right > \, . $$

¡Muchas gracias!

Answer 1

En primer lugar, establecemos un resultado sencillo. Supongamos que tenemos dos operadores $A,B$ con $[A,B]=1$ . Entonces se puede demostrar fácilmente por inducción que de forma más general $[A,B^k]=k B^{k-1}$ para cualquier $k$ . Por lo tanto, el mapa $d_B$ definido como $d_B(\cdot)=[A,\cdot]$ actúa como un derivado de todos esos términos $B^k$ y como este mapa es lineal tenemos además que esto se extiende a cualquier función $f(B)=\sum_k f_k B^k$ . En particular, se aplica al exponencial $\displaystyle e^{t B}=\sum_k \frac{t^k}{k!}B^k$ y así $d_B e^{t B}=[A,e^{t B}]= t e^{tB}$ .

Con esto, el problema es sencillo. En primer lugar, el estado coherente puede escribirse como $|\psi\rangle = \prod_i e^{\phi_i \hat{a}_i^\dagger}| 0\rangle$ ya que todos los operadores de creación conmutan. Pero si $i\neq x$ entonces $\hat{a}_x$ también se desplaza con $\hat{a}_i^\dagger$ (y por lo tanto $e^{\phi_i a_i^\dagger}$ ); en caso contrario, la fórmula indicada anteriormente da $\hat{a}_x e^{\phi_x \hat{a_x}^{\dagger}} = e^{\phi_x \hat{a_x}^{\dagger}}(\hat{a}_x+\phi_x).$ En consecuencia, $$\hat{a}_x |\psi\rangle =a_x\left(\prod_i e^{\phi_i \hat{a}_i^\dagger}\right)| 0\rangle=\left(\prod_i e^{\phi_i \hat{a}_i^\dagger}\right)(\hat{a}_x+\phi_x)| 0\rangle=\phi_x |\psi\rangle$$ desde $\hat{a}_x$ aniquila el estado básico.