Ejemplos de aplicaciones de las formas cerradas de valor real en la física

Question

Las formas 1 cerradas están bien estudiadas en la topología de las foliaciones, la geometría algebraica y la teoría de los colectores. ¿Cuáles son los ejemplos de sus aplicaciones más típicas o más interesantes en física?

No me refiero a las formas 1 exactas (a grandes rasgos, funciones no interesantes). Me interesan ejemplos de aplicaciones de formas cerradas de valor real que no sean exactas.

Mi motivación es mencionar varios buenos ejemplos en una sección introductoria de un artículo matemático sobre formas 1 cerradas para mostrar su importancia para la física, tanto clásica como moderna. Así que varios buenos ejemplos (típicos, o interesantes) adecuados para ser mencionados en dicha sección serían suficientes.

Answer 1

En particular, una parte de las ecuaciones de Maxwell establece que la forma 2 de Faraday es cerrada: $$dF=0$$ De esto podemos deducir del lema de Poincare que existe una forma 1 $A$ tal que $dA=F$ . En algunos tratamientos elementales $F$ se considera una forma exacta. Pero al considerar los monopolos magnéticos es importante tratarlos como una forma cerrada debido a la cláusula "localmente" del lema de Poincare.

Un ejemplo realmente trivial es el siguiente: dejemos que $g$ sea una métrica ortonormal. Entonces es una forma 0 cerrada $$dg=0$$ Esto no es más que la ecuación de la antisimetría de la conexión de espín en una variedad riemanniana con métrica ortonormal.

La cohomología se utiliza bastante en un pequeño sector de la física llamado Teoría de Cuerdas. Estoy seguro de que sabes lo importante que son las formas cerradas para eso. Una forma cerrada realmente importante es la forma de Kahler: $$dJ=0$$

EDIT: No eran formas 1. El operador de rizo es $\star d$ . Por lo tanto, una forma única cerrada es isomorfa a un vector que tiene rizo cero. Algunos ejemplos que se me ocurren de la cabeza:

Tome la ley de Faraday $\nabla\times\mathbf{E}+\dot{\mathbf{B}}=0$ . Supongamos que los campos son estáticos. Entonces $\dot{\mathbf{B}}=0$ y $\nabla\times\mathbf{E}=0$ . Si $\mathcal{E}=\mathbf{E}^\flat$ $$d\mathcal{E}=0$$

Lo mismo ocurre con la ley de Maxwell-Ampere en el vacío. Entonces la 1 forma magnética $\mathcal{B}=\mathbf{B}^\flat$ está cerrado $$d\mathcal{B}=0$$

Supongamos que la integral de alguna fuerza $\mathbf{F}$ es independiente de la trayectoria. El trabajo se define por $$W_P=\int_P\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}$$ Si $\mathcal{F}=\mathbf{F}^\flat$ entonces $$W_P=\int_P\mathcal{F}$$ La diferencia de trabajo a lo largo de dos caminos diferentes desaparece ( $P'-P$ es una curva cerrada que es el límite de una superficie $S$ ) $$W_{P'}-W_P=\int_{P'-P}\mathcal{F}=\int_S d\mathcal{F}=0$$ por el teorema de Stokes. Esto implica para cualquier fuerza conservadora $$d\mathcal{F}=0$$

Answer 2

Muchos. La mecánica clásica es esencialmente geometría. En la formulación hamiltoniana, la dinámica tiene lugar en un haz cotangente a una variedad, el espacio de configuración $\Gamma$ conocido como el espacio de fase $T^*\Gamma$ . La forma tautológica o de Poincaré $\theta$ , conduce a través de la derivada exterior a la 2 forma simpléctica natural $\omega$ en el haz cotangente $T^*\Gamma$ Es decir $\omega = \text d\theta$ .

En Electrodinámica, el 4-potencial $A$ puede verse como una forma 1, y su derivada exterior $\text dA$ es el tensor de Faraday o electromagnético $F$ que describe tanto los campos eléctricos como los magnéticos y está vinculada a la forma 1 de 4 corrientes $J$ mediante las ecuaciones de Maxwell. Para más información sobre este tema, véase este respuesta.

Para otras ideas de la relatividad general, véase este otra respuesta.