¿Cómo probar el derivado de la covariante no se puede escribir como un eigendecomposition del derivado parcial?

Question

La Pregunta

¿Cómo hace uno para demostrar que Rindler la definición de la derivada covariante de un vector covariante del campo $\lambda_a$ \begin{align} \lambda_{a;c} = \lambda_{a,c} - \Gamma^{b}_{\ \ ca} \lambda_{b} \tag{Rindler} \end{align} no puede ser escrita en términos de una eigendecomposition de la derivada parcial como \begin{align} \lambda_{a;c} = \dfrac{\partial y_d}{\partial x_a} \dfrac{\partial }{\partial x_c} \left( \dfrac{\partial x_b}{\partial y_d} \lambda_{b} \right) \tag{linuxfreebird} ? \end{align}

Las Definiciones

Los siguientes símbolos se definen por Rindler e interpretada por linuxfreebird:

\begin{align} \Gamma^{b}_{\ \ ca} = g^{bk} \Gamma_{k ca} \tag{Christoffel symbol} \end{align}

son los símbolos de Christoffel y

\begin{align} \tag{inverse metric tensor} g^{bd} = \dfrac{\partial x_b}{\partial y_k} \dfrac{\partial x_d}{\partial y_k} \end{align}

es la inversa del tensor métrico $g_{bd}$.

El eigendecomposition de una derivada parcial es análoga a la eigendecomposition de matriz de los operadores. Dada una matriz operador $A$, uno puede expresar $A$ en términos de su autovalor de la diagonal de la matriz $\Lambda$ y su vector propio de la matriz $V$ tal que $A = V\Lambda V^{-1}$.

La Razón de la Pregunta

Tomado de Rindler, el tensor de Riemann $R^{d}_{\ \ abc}$ se define mediante el conmutador de la derivada covariante de Eq. (Rindler) como

\begin{align} \lambda_{a;bc} - \lambda_{a;cb} = R^{d}_{\ \ abc} \lambda_{d} \tag{Riemman tensor}. \end{align}

Sin embargo, si se intenta calcular el tensor de Riemman de Eq. (Riemman tensor) usando la definición de la derivada covariante de Eq. (linuxfreebird), se obtiene el siguiente resultado

\begin{align} \lambda_{a;bc} &=& \dfrac{\partial y_n}{\partial x_a} \dfrac{\partial }{\partial x_b} \left( \dfrac{\partial x_m}{\partial y_n} \dfrac{\partial y_f}{\partial x_m} \dfrac{\partial }{\partial x_c} \left( \dfrac{\partial x_d}{\partial y_f} \lambda_{d} \right) \right) \\&=& \dfrac{\partial y_n}{\partial x_a} \dfrac{\partial^2 }{\partial x_b \partial x_c} \left( \dfrac{\partial x_d}{\partial y_n} \lambda_{d} \right) , \end{align}

que establece que el colector de la derivada covariante es cero, por lo tanto el tensor de Riemman es cero. Esta fue la inconsistencia de la descubrí de Eq. (linuxfreebird) y demuestra Eq. (linuxfreebird) no puede ser una representación equivalente de Eq. (Rindler). Sin embargo, no he sido capaz de demostrar por qué Eq. (linuxfreebird) es incorrecta. Sección (El Material de Apoyo) proporciona mi formulación de Eq. (linuxfreebird).

El Material De Apoyo

A continuación es mi formulación original de Eq. (linuxfreebird):

Rindler define el símbolo de Christoffel de primer tipo como \begin{align} \tag{12} \Gamma_{b ca} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial g_{bc}}{\partial x_{a}} + \dfrac{\partial g_{ab}}{\partial x_{c}} - \dfrac{\partial g_{ca}}{\partial x_{b}} \right) , \end{align} donde \begin{align} \tag{13} g_{ab} = \dfrac{\partial y_k}{\partial x_{a}} \dfrac{\partial y_k}{\partial x_{b}} \end{align} es el tensor métrico. La derivada parcial de $g_{ab}$ es \begin{align} \tag{14} \dfrac{\partial g_{ab}}{\partial x_{c}} = A_{acb} + A_{bca} , \end{align} donde \begin{align} \tag{15} A_{acb} = \dfrac{\partial y_k}{\partial x_{a}} \dfrac{\partial^2 y_k}{\partial x_{c}\partial x_{b}} . \end{align} Uno puede expresar $\Gamma_{bca}$ en términos de $A_{abc}$ \begin{align} \tag{16} \Gamma_{b ca} = \dfrac{1}{2} \left( A_{bac} + A_{cab} + A_{acb} + A_{bca} - A_{cba} - A_{abc} \right) = A_{bac} , \end{align} lo que demuestra que \begin{align} \tag{17} \Gamma_{b ca} = \dfrac{\partial y_k}{\partial x_{b}} \dfrac{\partial^2 y_k}{\partial x_{c}\partial x_{a}} . \end{align} Rindler define el símbolo de Christoffel de segundo tipo como \begin{align} \tag{18} \Gamma^{b}_{\ ca} = g^{bk} \Gamma_{k ca} , \end{align} donde \begin{align} \tag{19} g^{ab} = \dfrac{\partial x_{a}}{\partial y_k} \dfrac{\partial x_{b}}{\partial y_k} \end{align} es la inversa de a $g_{ab}$. Uno puede expresar $\Gamma^{b}_{\ ca}$ en términos del Jacobiano componentes $\partial x_{a}/\partial y_{k}$ y demostrar las siguientes expresiones equivalentes \begin{align} \tag{20} \Gamma^{b}_{\ ca} &=& \left( \dfrac{\partial x_{b}}{\partial y_n} \dfrac{\partial x_{k}}{\partial y_n} \right) \left( \dfrac{\partial y_m}{\partial x_{k}} \dfrac{\partial^2 y_m}{\partial x_{c}\partial x_{a}} \right) \\ &=& \tag{21} \dfrac{\partial x_{b}}{\partial y_n} \left( \dfrac{\partial x_{k}}{\partial y_n} \dfrac{\partial y_m}{\partial x_{k}} \right) \dfrac{\partial^2 y_m}{\partial x_{c}\partial x_{a}} \\ &=& \tag{22} \dfrac{\partial x_{b}}{\partial y_n} \left( \delta_{mn} \right) \dfrac{\partial^2 y_m}{\partial x_{c}\partial x_{a}} \\ &=& \tag{23} \dfrac{\partial x_{b}}{\partial y_m} \dfrac{\partial }{\partial x_{c}} \left( \dfrac{\partial y_m}{\partial x_{a}} \right) \\ &=& \tag{24} \dfrac{\partial }{\partial x_{c}} \left( \dfrac{\partial x_{b}}{\partial y_m} \dfrac{\partial y_m}{\partial x_{a}} \right) - \dfrac{\partial y_m}{\partial x_{a}} \dfrac{\partial }{\partial x_{c}} \left( \dfrac{\partial x_{b}}{\partial y_m} \right) \\ &=& \tag{25} \dfrac{\partial }{\partial x_{c}} \left( \delta_{ab} \right) - \dfrac{\partial y_m}{\partial x_{a}} \dfrac{\partial }{\partial x_{c}} \left( \dfrac{\partial x_{b}}{\partial y_m} \right) \\ &=& \tag{26} - \dfrac{\partial y_m}{\partial x_{a}} \dfrac{\partial }{\partial x_{c}} \left( \dfrac{\partial x_{b}}{\partial y_m} \right) . \end{align} Rindler define la derivada covariante de un vector covariante del campo $\lambda_{a}$ \begin{align} \tag{27} \lambda_{a;c} = \lambda_{a,c} - \Gamma^{b}_{\ ca} \lambda_{b} . \end{align} Se puede definir la derivada covariante en términos de $\partial x_{a}/\partial y_{k}$ \begin{align} \tag{28} \lambda_{a;c} &=& \dfrac{\partial \lambda_{a} }{\partial x_{c}} + \dfrac{\partial y_m}{\partial x_{a}} \dfrac{\partial }{\partial x_{c}} \left( \dfrac{\partial x_{b}}{\partial y_m} \right) \lambda_{b} \\&=& \tag{29} (\delta_{ab}) \dfrac{\partial \lambda_{b} }{\partial x_{c}} + \dfrac{\partial y_m}{\partial x_{a}} \dfrac{\partial }{\partial x_{c}} \left( \dfrac{\partial x_{b}}{\partial y_m} \right) \lambda_{b} \\&=& \tag{30} \left( \dfrac{\partial y_m}{\partial x_{a}} \dfrac{\partial x_{b}}{\partial y_m} \right) \dfrac{\partial \lambda_{b} }{\partial x_{c}} + \dfrac{\partial y_m}{\partial x_{a}} \dfrac{\partial }{\partial x_{c}} \left( \dfrac{\partial x_{b}}{\partial y_m} \right) \lambda_{b} \\&=& \tag{31} \dfrac{\partial y_m}{\partial x_{a}} \left( \dfrac{\partial x_{b}}{\partial y_m} \dfrac{\partial (\lambda_{b} ) }{\partial x_{c}} + \dfrac{\partial }{\partial x_{c}} \left( \dfrac{\partial x_{b}}{\partial y_m} \right) \lambda_{b} \right) \\&=& \tag{32} \dfrac{\partial y_m}{\partial x_{a}} \dfrac{\partial }{\partial x_{c}} \left( \dfrac{\partial x_{b}}{\partial y_m} \lambda_{b} \right) . \end{align}

Answer 1

Deje que se dé un colector $(M,\nabla)$ equipada con un (no necesariamente torsionfree) tangente paquete de conexión de $\nabla$.

Tengo el (posiblemente defectuoso) impresión de la lectura de las primeras líneas en el OP de la formulación de preguntas (v18) que OP es preguntando:

Es posible que el local de coordenadas de la expresión para la derivada covariante de un co-vector/un-formulario de $\lambda =\lambda_a \mathrm{d}x^a$ (en algún sistema de coordenadas local de $x^a$) puede ser en el formulario $$\tag{1} (\nabla_c \lambda)_a~=~\frac{\partial y^d}{\partial x^a} \frac{\partial }{\partial x^c}\left(\frac{\partial x^b}{\partial y^d} \lambda_b \right) $$ para algunos (invertible, suave, definido localmente) funciones de $y^d=y^d(x)$?

Esto equivale a preguntar:

Es posible que los símbolos de Christoffel$^1$ (en algún sistema de coordenadas local de $x^a$), podría ser de la forma $$\tag{2} \Gamma^{(x)b}_{ca}~=~\frac{\partial^2 y^d}{\partial x^c\partial x^a} \frac{\partial x^b}{\partial y^d} $$ para algunos (invertible, suave, suave, definido localmente) funciones de $y^d=y^d(x)$?

Recordemos que el símbolo de Christoffel $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$ no transformar como un tensor en virtud de un local de transformación de coordenadas $x^a \to y^b=y^b(x)$, sino con un homogénea plazo, el cual es construido a partir de la segunda derivada de la transformación de coordenadas

$$\etiqueta{3}\frac{\partial y^f}{\partial x^c} \Gamma^{(x)c}_{ab} ~=~\frac{\partial y^d}{\partial x^a}\, \frac{\partial y^e}{\partial x^b}\, \Gamma^{(y)f}_{de} +\frac{\partial^2 y^f}{\partial x^a \partial x^b}. $$

Por lo tanto, la formulación de (2) es equivalente a preguntarle:

No existe un sistema de coordenadas local de $y^d$ tales los símbolos de Christoffel se desvanecen $$\tag{4} \Gamma^{(y)c}_{ab}~=~0? $$

Esto, a su vez, equivale a preguntar

Es $(M,\nabla)$ plana?

Esto es equivalente a pedir

¿Existe un sistema de coordenadas local de $y^d$ de manera tal que el tensor métrico $$\tag{5} g^{(y)}_{ab}~=~\eta_{ab} $$ es constante?

Esto es equivalente a pedir

En un sistema de coordenadas arbitrario $x^a$, es el tensor métrico de la forma $$\tag{6} g^{(x)}_{ab}~=~\frac{\partial y^c}{\partial x^a}\eta_{cd} \frac{\partial y^d}{\partial x^b} $$ para algunos (invertible, suave, suave, definido localmente) funciones de $y^d=y^d(x)$?

La relectura de OP de formulación de preguntas, la condición (6) parece ser uno de OP supuestos. Si se nos concede la asunción (6), el OP de la demanda inicial (1) posea.

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$^1$ Es conveniente llamar a $\Gamma^c_{ab}$ símbolos de Christoffel incluso si la tangente del espacio de conexión de $\nabla$ no es torsionfree.

Answer 2

La ecuación (13) expresa la métrica en un embedded hipersuperficie dado por las relaciones $y^k = y^k(x^a)$. Sin embargo, la ecuación por la inversa de la métrica (4-ésima ecuación) no es en general correcta.

Tomemos, por ejemplo, una hipersuperficie definido por: $y^1 = x^1$, $y^2 = x^2$, $ y^3 = x^2$. En nuestro caso, la derivada parcial de $x^2$ con respecto al $y^2$ o $y^3$ no puede ser definido. Por ejemplo, con el fin de diferenciar con respecto a $y^2$ debemos varían $y^2$, manteniendo $y^3$ constante. Esto es imposible de hacer en la hipersuperficie.

Actualización: Esta es una respuesta detallada a linuxfreebird comentario.

Aunque no he recibido mi educación de Rindler del libro, el material de los sujetos de esta pregunta aparece en muchos pedagógico de las introducciones de la relatividad general, en la que un $N$ dimensiones del espacio tiempo $X$ es isométricamente incrustado en un plano grande $M$-dimensional espacio plano $Y$:

$$\begin{matrix} X \rightarrow Y \\ y^k = y^k(x^1, ...., x^N), k = 1, ..., M \end{de la matriz}$$

La incrustación se da como un conjunto de ecuaciones de definición de $X$ como una hipersuperficie en $Y$. Las funciones no necesitan ser invertible y como la queremos para describir incrustaciones de espacios de diferentes dimensiones.

La ecuación (4) es la relación que expresa que la inclusión es isométrica. Esto puede ser visto de manera más explícita, si podemos escribir esta ecuación en la forma:

$$ g_{a b} =\eta_{kl} \frac{\partial y^k }{\partial x^a} \frac{\partial y^l}{\partial x^b}$$

Donde $\eta$ es el plano métrico en el colector $Y$. Ahora, esta ecuación se ve como un indicador de la transformación, es decir, conserva las distancias.

Este enfoque se denomina extrínseco de la geometría. Puede ser utilizado para definir los distintos objetos geométricos del espacio-tiempo $X$ (tales como la de Levi-Civita de la conexión y la curvatura de Riemann) en términos de la integración de las ecuaciones. Este enfoque es correcto, porque para cualquier espacio-tiempo $X$ existe como una incorporación para algunos lo suficientemente alto $M$ (Esto se llama Nash incrustación teorema), pero rara vez se utiliza en la teoría de la relatividad general de trabajo real. La mayoría de los trabajos en general de la relatividad de einstein utiliza la geometría intrínseca, sin tener que recurrir a cualquier incrustación de ecuaciones.

El punto clave es recordar que el $y$s son funciones de la $x$s y cada vez que una derivada parcial de $x$ con respecto al $y$, significa que estas ecuaciones se han invertido, pero esto no se puede hacer en general, salvo en el caso particular donde estas ecuaciones son invertible.

Ahora, en el caso de que las ecuaciones son invertible (es necesariamente implica que $ M=N$ ), todo es correcto, pero en este caso sólo se refiere al espacio-tiempos que se pueden isométricamente incrustado en un plano espacio-tiempo de la misma dimensión. Estos espacio-tiempos son necesariamente plana, por lo tanto no lo suficientemente general para abarcar los casos interesantes en la relatividad general.

Puede ser que usted puede beneficiarse de este análisis si continuar su ejercicio y demostrar que el tensor de Riemann calcula a partir de su forma de Levi-Civita de conexión a nivel mundial es idéntica a cero.

Answer 3

Un agradecimiento especial a Qmechanic y David de la Barra de Moshé para la prestación de sus respuestas de este post. La combinación de Qmechanic y David de la Barra de Moshe las ideas, finalmente comprendí el confuso elemento en el problema.

La derivada covariante puede ser escrita en términos de una eigendecomposition de la derivada parcial, los símbolos de Christoffel puede ser escrito en términos de no invertible amplio de variables, y el tensor de Riemman no es necesariamente igual a cero. Aquí está mi respuesta:

He escrito la derivada covariante \begin{align} \lambda_{a;c} = \dfrac{\partial y^k}{\partial x^a} \dfrac{\partial }{\partial x^c} \left( \dfrac{\partial y_k}{\partial x^p} g^{pb} \lambda_{b} \right) \end{align} en términos de su eigendecomposition y los índices de "a" y "c" y otra vez \begin{align} \lambda_{b;d} = \dfrac{\partial y^j}{\partial x^b} \dfrac{\partial }{\partial x^d} \left( \dfrac{\partial y_j}{\partial x^q} g^{qn} \lambda_{n} \right) \end{align} con diferentes índices de "b" y "d". La combinación de la covariante derivados de las formas siguientes: \begin{align} \lambda_{a;cd} =\\ \dfrac{\partial y^k}{\partial x^a} \dfrac{\partial }{\partial x^c} \left( \Lambda^{\ \ j}_{k} \dfrac{\partial }{\partial x^d} \left( \dfrac{\partial y_j}{\partial x^q} g^{qn} \lambda_{n} \right) \right) \end{align} donde \begin{align} \Delta^{\ \ j}_{k} = \dfrac{\partial y_k}{\partial x^p} g^{pb} \dfrac{\partial y^j}{\partial x^b} \neq \delta_{k}^{\ \ j} \end{align} porque \begin{align} g^{pb} \neq \dfrac{\partial x^p}{\partial y^n} \dfrac{\partial x^b}{\partial y_n} \end{align}

está mal definida.

El tensor de Riemann $R_{acd}^{ \ \ \ \ m} $ es creado por informática el colector de la covariante derviatives de la siguiente manera:

\begin{align} \lambda_{a;[c,d]} = \left( \dfrac{\partial y^k}{\partial x^a} \dfrac{\partial \Delta^{\ \ j}_{k} }{\partial x^c} \dfrac{\partial }{\partial x^d} \left( \dfrac{\partial y_j}{\partial x^p} g^{pm} \right) \right)_{[c,d]} = R_{acd}^{ \ \ \ \ m} \lambda_m . \end{align}

Si el número de dimensiones de $y$ es igual al número de dimensiones en $x$,$\Delta^{\ \ j}_{k} = \delta^{\ \ j}_{k}$, lo $R_{acd}^{ \ \ \ \ m} = 0$.