Desigualdad para los débiles $L^p$ espacios

Question

Para cada función medible $f: X \to \mathbf{R}$ definir su función de distribución $F: [0,\infty] \to [0,\infty]$ por $F(t) = |{x : |f(x)| > t}|$ . Entonces, para cada $p \geq 1$ definen el débil $L^p$ norma $\| f \|_{p,\infty}$ como el valor más pequeño $A$ tal que para cada $t \in [0,\infty]$ ,

$$ F(t) \leq A^p / t^p. $$

Es fácil ver que $\| f \|_{p,\infty}$ es una cuasinorma, es decir, que

$$ \| f_1 + \dots + f_N \|_{p,\infty} \leq N( \| f_1 \|_{p,\infty} + \dots + \| f_N \|_{p,\infty}). $$

Sin embargo, para $p > 1$ , $\| \cdot \|_{p,\infty}$ es comparable a una norma. En particular, esto implica que deberíamos poder obtener una desigualdad de la forma

$$ \| f_1 + \dots + f_N \|_{p,\infty} \lesssim_p \| f_1 \|_{p,\infty} + \dots + \| f_N \|_{p,\infty}, $$

independientemente de $N$ . ¿Existe una prueba elemental del hecho de que

$$ \| f_1 + \dots + f_N \|_{p,\infty} \lesssim_p \| f_1 \|_{p,\infty} + \dots + \| f_N \|_{p,\infty}? $$

Answer 1

El $L^{p,\infty}$ quasinormas son las $q=\infty$ caso de las cuasiformes de Lorentz $L^{p,q}$ . Las cuasiformes de Lorentz son equivalentes a las normas cuando $1<p<\infty$ y $1\leq q \leq \infty$ . La forma más fácil que conozco para ver esto es demostrar la declaración de dualidad: $$ \|f\|_{L^{p,q}} \sim_{p,q} \sup_{\|g\|_{L^{p',q'}} = 1} \left| \int f(x)\overline{g}(x)~dx\right|, $$ donde $p'$ y $q'$ son los conjugados más antiguos de H\Na $p$ y $q$ respectivamente. El lado derecho satisface claramente la desigualdad del triángulo en $f$ Así que una vez que se tiene la equivalencia anterior sí se define una norma.

Dicho esto, la prueba de esta equivalencia no es del todo trivial. Primero, por supuesto, hay que definir las cuasiformes de Lorentz. Después de eso supongo que puede haber múltiples formas de proceder, pero en la prueba que conozco primero se demuestra que las funciones de Lorentz satisfacen una cierta descomposición atómica, que reduce la mayoría de las afirmaciones sobre las funciones de Lorentz al caso en que $f$ tiene la forma $$ f = \sum_m 2^m 1_{E_m}, $$ donde $E_m$ son disjuntos por pares y $1_{E_m}$ es la función indicadora de $E_m$ . Si quiere más detalles, consulte el capítulo 3 de estas notas. La proposición 3.6 es el teorema de dualidad.