Teorema de Hasse para curvas elípticas sobre campos finitos + aclaración de la prueba

Question

Necesito un poco de ayuda para entender el teorema de Hasse para curvas elípticas sobre campos finitos, así como la demostración de este teorema. (Perdón por mi edición)

Teorema de Hasse: Sea $E$ sea una curva elíptica definida sobre $F_q$ . Entonces |# $E(K)-q-1|2\sqrt{q}$

Así que el teorema de Hasse está estimando el número de puntos de la E sobre $F_q$ . Dice que hay aproximadamente q puntos con un error no superior a $2\sqrt{q}$ ¿verdad?

También he leído en algún sitio que "el teorema de Hasse sobre las curvas elípticas, proporciona un límite para el número de puntos de una curva elíptica cuando se reduce módulo a un primo p. También se conoce como el límite de Hasse, porque como resultado el valor está acotado tanto por arriba como por abajo", pero no entiendo del todo este resultado.

Prueba: Consideremos el endomorfismo de Frobenius sobre $E$ en $F_q$ donde $p$ es primo. Este es el mapa $:(x,y)(x^p,y^p)$ .

Creo que también estoy luchando con el concepto de endomorfismo de Froebnius. Puedo ver que (x,y) se mapea a una potencia p de sí mismo $x^p,y^p)$ pero no le veo la importancia, aunque veo que el endomorfismo de Frobenius se menciona constantemente en la literatura de curvas elípticas.

Del pequeño teorema de Fermat tenemos $x^px modp$ .

Entiendo esto.

Así que el mapa corrige $E$ es decir, en el sentido de la palabra, $(P)=P$ .

Esto sólo significa que cada x se asigna a un $x^p$ que es congruente con x (modp) ¿no? así que en realidad cada x se mapea a sí mismo...?

Entonces $(P)-P=0$ Así que $(-1)(P)=0$ .

Sólo alegbra, creo.

$Pker(-1)$ . Así, $E$ es isomorfo al núcleo del mapa $(-1)$ .

No entiendo de dónde viene este resultado, el concepto de núcleo siempre me ha confundido.

El isomorfismo da como resultado $N_p (E)=ker(-1)=(-1)$ .

es $N_p$ ¿sólo una notación diferente para el número de puntos?

Así que $|(-1)-deg()-deg91)|(deg() deg(1) )$ .

Totalmente confundido.

Pero $deg(-1)=N_p > (E)$ , $deg()=p$ y $deg1=1$ así que $|N_p (E)-p-1|2p$ .

¿De dónde proceden estos valores de las titulaciones?

Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias

Aquí está la prueba que he utilizado:

Alternativamente, aquí está la prueba de Silverman, que entiendo aún menos:

Answer 1

La idea es, $E$ tiene muchos puntos en $\overline{\mathbb F_p}$ no todos están en $\mathbb F_p$ . Sin embargo, si tengo un $\overline{\mathbb F_p}$ -punto, entonces es en realidad un $\mathbb F_p$ -si está fijado por el $p^{th}$ mapa de potencia. Esto se debe a que las soluciones de $x^p=x$ en $\overline{\mathbb{F_p}}$ (de los cuales hay $p$ ) se identifican canónicamente con $\mathbb F_p$ .

Así que el cálculo del número de puntos de $E$ mod $p$ es lo mismo que contar las soluciones de $\phi(P)=P$ que es lo mismo que contar las soluciones de $(\phi-1)P=0$ , donde $(\phi-1)P = \phi(P)-P$ .

Diciendo que $(\phi-1)P=0$ está diciendo exactamente que $P$ está en el núcleo de $(\phi-1)$ .

El valor de los grados de estos mapas se trabaja en otra parte de Silverman. ¿Esto ayuda?