Prueba $\frac{d}{dx} \int_x^{x^2}\ \frac{\sin t}{t} dt = \frac{2\sin x^2 - \sin x}{x}$

Question

Comprueba si lo siguiente es cierto:

$$\frac{d}{dx} \int_x^{x^2}\ \frac{\sin t}{t} dt = \frac{2\sin x^2 - \sin x}{x}$$ .

Si no es cierto, demuéstralo.

Sé cómo evaluar $$\int\frac{\sin t}{t} dt$$

Primero podemos escribir la expansión Tyalor de $\sin t$ y luego se integra más. Pero será un largo tedio. Quiero saber alguna solución fácil para este problema en particular.

Al principio trataba de evaluar $$\int \frac{sin t}{t} dt$$ utilizando por partes fue redirigido una y otra vez a la integral original.

Después de intentarlo una y otra vez soy incapaz de llegar a un resultado final adecuado. Por favor, ayúdenme.

Answer 1

Sugerencia

El teorema fundamental del cálculo escribe $$\frac d {dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt=f\big(b(x)\big)\, b'(x)-f\big(a(x)\big)\, a'(x)$$ Un término desaparece cuando uno de los límites es una constante.

Answer 2

SUGERENCIA: utilice el hecho de que $$\frac{d}{dx}\int_c^{g(x)}f(t)dt=f(g(x))\cdot g'(x)$$

donde $c$ es una constante.