Dejemos que $(U, (\theta, \varphi))$ sea la carta de coordenadas esféricas en la esfera $\mathbb{S}^2$ y considerar el campo vectorial en $U$ definido por $\dfrac{\partial}{\partial \varphi}$ . Entonces, en este gráfico, el tensor métrico $g_{ij}$ puede expresarse como sigue:
$$g_{ij} = d\varphi^2 + \sin^2\varphi \, d\theta^2. $$
Esto significa que el vector $\dfrac{\partial}{\partial \varphi} \Bigr|_{p} \in T_p\mathbb{S}^2$ tiene norma $1$ para cualquier punto $p \in U$ . Pero esto parece contradecir el teorema de la Bola Peluda, que dice que todo campo vectorial suave sobre $\mathbb{S}^2$ tiene que desaparecer en alguna parte. ¿Qué es lo que ocurre? ¿Qué hay de malo en esta lógica?
Creo que el problema es que la carta de coordenadas esféricas en $\mathbb{S}^2$ no es un global gráfico. Así que tal vez este campo vectorial definido en $U$ no puede extenderse a un campo vectorial suave en toda la variedad. Mi pregunta es: ¿hay alguna razón geométrica intuitiva por la que podamos esperar que este campo vectorial no pueda extenderse suavemente? Algo que implique imágenes de campos vectoriales sería útil. Gracias.
