Las tres siguientes son las preguntas que me hizo un estudiante universitario. Todas ellas son preguntas de opción múltiple y aparecieron en un examen de oposición y el tiempo asignado para cada una de ellas es aproximadamente $4$ minutos.
Los problemas
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Dejemos que $\bf{A}$ sea una matriz cuadrada tal que $\mathbf{A}^3=\bf{O}$ pero $\mathbf{A}^2\ne\bf{O}$ . Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones no es necesariamente cierta?
(a) $\bf{A}\ne\bf{A}^2$
(b) Valores propios de $\bf{A}^2$ son todos $0$
(c) $\operatorname{rank}({\bf{A}})>\operatorname{rank}({\bf{A}^2})$
(d) $\operatorname{rank}({\bf{A}})>\operatorname{trace}({\bf{A}})$
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Dejemos que $\bf{A}$ sea una matriz real tal que $\mathbf{A}^3=\bf{A}$ , $\mathbf{A}\ne\bf{O}$ , $\mathbf{A}\ne\bf{I}$ . Entonces,
(a) $\operatorname{rank}({\bf{A}})\ge \operatorname{trace}({\bf{A}})$ y $\operatorname{rank}({\bf{A}})+\operatorname{trace}({\bf{A}})$ es impar
(b) $\operatorname{rank}({\bf{A}})\ge \operatorname{trace}({\bf{A}})$ y $\operatorname{rank}({\bf{A}})+\operatorname{trace}({\bf{A}})$ es incluso
(c) $\operatorname{rank}({\bf{A}})< \operatorname{trace}({\bf{A}})$ y $\operatorname{rank}({\bf{A}})+\operatorname{trace}({\bf{A}})$ es impar
(d) $\operatorname{rank}({\bf{A}})< \operatorname{trace}({\bf{A}})$ y $\operatorname{rank}({\bf{A}})+\operatorname{trace}({\bf{A}})$ es incluso
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El número de funciones $f:\{1,2,\ldots,10\}\to\{1,2,\ldots,10\}$ tal que $f(x)\ne x$ para todos $x$ es,
(a) $10!$
(b) $9^{10}$
(c) $10^9$
(d) $10^{10}-1$
Nota: Intenté resolver los problemas pero no pude. Si alguien no está de acuerdo con que publique las tres preguntas en un solo post, que me lo haga saber en el comentario.
