Supremacía y continuidad de la función

Question

Dejemos que $f$ sea continua en $[a, b]$ . Definir una función $g$ de la siguiente manera: $g(a)=f(a)$ y, para $x$ en $(a, b]$ $$g(x)=\sup \{f(y): y \text { in }[a, x]\}$$ Demostrar que $g$ es monótona creciente y continua en $[a, b]$ .

En cuanto a la monotonía creciente, si $g(x) < g(y)$ para algunos $x,y$ entonces utilizando el hecho de que el sumo de cualquier conjunto es mayor o igual que el sumo de cualquier subconjunto del mismo, revelaremos que $g$ es una función no decreciente. Sin embargo, no se me ocurrió cómo se puede deducir "monótona creciente"; es más, cómo se puede demostrar la continuidad de $g$ sin utilizar la definición épsilon-delta: ¿hay alguna característica directa que podamos aplicar en este problema concreto?

Answer 1

Su deducción para el incremento monótono de $g(x)$ es correcto ya que $[a,x_1]\subset[a,x_2]$ para $x_1<x_2$ . Para la continuidad, debe demostrar que $$ |x_2-x_1|<\delta\implies |g(x_2)-g(x_1)|<\epsilon . $$ Deje arbitrariamente que $x_2>x_1$ . Por lo tanto, $$ g(x_2)=\sup_{y\in[a,x_2]}f(y)=\max\left\{\sup_{y\in[a,x_1]}f(y),\sup_{y\in(x_1,x_2]}f(y)\right\} =\max\left\{g(x_1),\sup_{y\in(x_1,x_2]}f(y)\right\}, $$ por lo que $$ g(x_2)-g(x_1)=\max\left\{0,\sup_{y\in(x_1,x_2]}f(y)-g(x_1)\right\}. $$ El resto de la prueba debería ser fácil ahora debido a la continuidad de $f(x)$ en $(x_1,x_2]$ .