Diferenciar una representación

Question

Estoy leyendo el periódico Presentando las álgebras de Schur como cocientes del álgebra envolvente universal de $\mathfrak{gl_2}$ .

Describe una representación del álgebra de grupo $\mathbb{Q}[GL_2(\mathbb{Q})]$ a través de su acción sobre el módulo natural $E^{\otimes r}$ :

$\sigma_d : \mathbb{Q}[GL_2(\mathbb{Q})] \rightarrow End(E^{\otimes r})$ .

El periódico dice entonces. "al diferenciar $\sigma_d$ obtenemos una representación del Álgebra de Lie $\mathfrak{gl_2}$ ". Entiendo lo que es una derivación de un álgebra asociativa, sin embargo no sé cómo diferenciar una representación como tal.

También el documento, dice que podemos extender la representación que obtenemos para el álgebra de Lie linealmente al álgebra envolvente universal del álgebra de Lie. Una vez más no estoy seguro de lo que estamos extendiendo linealmente en el álgebra de Lie a la UEA.

Muchas gracias por las respuestas.

Answer 1

En realidad, se diferencia la representación del grupo de polinomios $\sigma_d : \operatorname{GL}_2(\mathbb{Q}) \to \operatorname{GL}(E^{\otimes d})$ en la identidad de $\operatorname{GL}_2(\mathbb{Q})$ para obtener una representación $\rho_d : \mathfrak{gl}_2(\mathbb{Q}) \to \mathfrak{gl}(E^{\otimes d})$ del álgebra de Lie asociada. Para $g \in \operatorname{GL}_2(\mathbb{Q})$ , $x \in \mathfrak{gl}_2(\mathbb{Q})$ y $u_1, \ldots, u_d \in E$ tenemos $$ \sigma_d(g)(u_1\otimes \cdots \otimes u_d) = g(u_1) \otimes \cdots \otimes g(u_d),$$ $$\rho_d(x)(u_1 \otimes \cdots \otimes u_d) = \sum_{k=1}^d u_1 \otimes \cdots \otimes u_{k-1} \otimes x(u_k) \otimes u_{k+1} \otimes \cdots \otimes u_d.$$ La ampliación de $\rho_d : \mathfrak{gl}_2(\mathbb{Q}) \to \mathfrak{gl}(E^{\otimes d})$ a una representación $\tilde\rho_d : U(\mathfrak{gl}_2(\mathbb{Q})) \to \operatorname{End}(E^{\otimes d})$ cuya existencia y unicidad está garantizada por la propiedad universal de la inclusión $\mathfrak{gl}_2(\mathbb{Q}) \to U(\mathfrak{gl}_2(\mathbb{Q}))$ también puede describirse como sigue. Sea $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ sea una base ordenada de $\mathfrak{gl}_2(\mathbb{Q})$ . Entonces, por el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt, los monomios (no conmutativos) de la forma $x_1^{k_1}x_2^{k_2}x_3^{k_3}x_4^{k_4}$ , donde $k_j \in \mathbb{Z}_{\geq0}$ forman una base de $U(\mathfrak{gl}_2(\mathbb{Q}))$ en $\mathbb{Q}$ . La representación $\tilde\rho_d$ se define en los elementos de la base mediante la regla $$ \tilde\rho_d(x_1^{k_1} \cdots x_4^{k_4}) = \rho_d(x_1)^{k_1} \cdots \rho_d(x_4)^{k_4},$$ y luego se extiende por linealidad a la totalidad de $U(\mathfrak{gl}_2(\mathbb{Q}))$ . El producto de la derecha en la fórmula anterior se toma en el álgebra asociativa $\operatorname{End}(E^{\otimes d})$ que tiene el mismo espacio vectorial subyacente que el álgebra de Lie $\mathfrak{gl}(E^{\otimes d})$ .