Cuestión del producto tensorial en los grupos cuánticos de Kassel

Question

En el libro de Kassel sobre Grupos Cuánticos, estoy atascado en el siguiente cómputo:

$$\begin{eqnarray*} [\Delta (E), \Delta (F)] &=& \Delta (E)\Delta (F)-\Delta (F)\Delta (E)\\ &=& (1\otimes E + E \otimes K) (K^{-1} \otimes F + F\otimes 1)\\ &&-(K^{-1}\otimes F+F\otimes 1)(1\otimes E+E\otimes K)\\ &=& K^{-1}\otimes EF + F\otimes E + EK^{-1}\otimes KF + EF\otimes K\\ &&-K^{-1}\otimes FE - K^{-1}E\otimes FK - F\otimes E - FE\otimes K\\ &=& K^{-1} \otimes (EF-FE) + (EF-FE) \otimes K\\ &=& K^{-1}\otimes [E,F] + [E,F]\otimes K\\ &=& \frac{K^{-1}\otimes (K-K^{-1})+(K-K^{-1})\otimes K}{q-q^{-1}}\\ &=& \frac{K\otimes K-K^{-1}\otimes K^{-1}}{q-q^{-1}}\\ &=& \frac{\Delta (K)-\Delta (K^{-1})}{q-q^{-1}} \end{eqnarray*}$$

El cálculo anterior fue intentado por mí, pero no estoy seguro de una parte, a saber, por qué es $EK^{-1}\otimes KF = -(K^{-1}E\otimes FK )$ .

Entiendo que $E,F,K$ son variables que generan el grupo cuántico $U_q(\mathfrak{sl}(2))$ .

Sinceramente, gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Usted tiene un error de señal que tenemos $EK^{-1}\otimes KF=K^{-1}E\otimes FK$ . Esto se debe a las dos relaciones siguientes: $$\begin{align*} KEK^{-1}&=q^2E\\ KFK^{-1}&=q^{-2}F \end{align*}$$ Por lo tanto, tenemos $$\begin{align*} EK^{-1}=q^2K^{-1}E\\ KF=q^{-2}FK \end{align*}$$ Esto da la igualdad anterior (ya que $q^2q^{-2}=1$ y puedes poner escalares delante del producto tensorial).

Por lo demás, su cálculo es correcto.