Dudas sobre el álgebra graduada.

Question

En los últimos días he estado estudiando el álgebra tensorial $T(V)$ de un espacio vectorial $V$ sobre el campo $K$ y me he dado cuenta de que lo que no entiendo no tiene que ver con los productos tensoriales, sino con las álgebras graduales construidas a partir de sumas directas.

Siguiendo la definición de wikipedia, un álgebra graduada es un espacio vectorial graduado que también es un anillo graduado, es decir, un espacio vectorial $V$ que puede descomponerse como una suma directa

$$V=\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}V_n$$

y con la propiedad de que si $\odot$ denota la multiplicación, entonces $V_n\odot V_m \subseteq V_{n+m}$ .

Eso está bien, sin embargo lo que me hace dudar es lo siguiente: supongamos que tenemos una colección de espacios vectoriales $\{V_i, i\in\mathbb{N}\}$ y sabemos cómo definir una multiplicación $\odot: V_n\times V_m\to V_{n+m}$ que satisface los axiomas de la multiplicación de un anillo.

Entonces, podemos construir el espacio vectorial

$$V=\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}V_n,$$

que es un espacio vectorial graduado, porque si $i_n : V_n\to V$ es la inyección canónica, entonces $V$ es la suma directa interna de todos los $i_n(V_n)$ para $n\in \mathbb{N}$ .

Pero ¿cómo se define la multiplicación en $V$ ? Sabemos cómo definir la multiplicación para cada dos $V_n$ y $V_m$ pero ¿cómo se puede utilizar esto para definir la multiplicación en $V$ ? Los elementos de $V$ son secuencias $(v_i)$ donde cada $v_i \in V_i$ y sólo un número finito de ellas $v_i$ son distintos de cero, pero no sé qué hacer con esto junto con los mapas $\odot$ para definir la multiplicación de $V$ convirtiéndolo también en un anillo graduado.

¿Cómo se hace normalmente?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

De la forma más "obvia" posible: ampliando la multiplicación mediante la linealidad.

Tratar los elementos de $\bigoplus V_n$ como combinaciones lineales formales (finitas) de elementos del $V_n$ y para multiplicar dos de estas sumas formales, basta con invocar la distributividad (es decir, la "Norma "FOIL ).

Answer 2

Se puede definir la multiplicación por $$(\vec v \odot \vec w)_i = \sum_{p+q=i} v_p \odot w_q$$ donde $\vec v = (v_j : j \ge 0)$ con $v_j \in V_j$ y así sucesivamente.

Es un poco lo que ocurre cuando se multiplican las potencias de una variable $x$ : $$\left( \sum_{i=0}^{\infty} a_ix^i \right) \left(\sum_{j=0}^{\infty} b_jx^j \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{i+j=n} a_ib_jx^n$$