Ayuda para resolver la siguiente desigualdad

Question

$$ \frac{x|x + 1|(x + 2)}{|x - 1|} \ge 0 $$

Mi idea era multiplicar el denominador por $0$ y $| x + 1 |$ para resolverlo en dos casos (cuando es positivo y cuando es negativo). No hubo suerte

Answer 1

Una pista:

$$\frac{x|x + 1|(x + 2)}{|x - 1|} =\underbrace{\frac{|x + 1|}{|x - 1|}}_+.\left(x^2+2x\right)$$

Answer 2

Hay nueve casos a comprobar, para cubrir todos los posibles valores significativos de x; cuatro son fáciles,

El LHS es cero para $x=-2, -1, \text{and } 0$ la desigualdad es verdadero

El LHS es indefinido para $x=1$ la desigualdad es falso

Ahora, para los cinco casos restantes: en todos ellos los términos de valor absoluto son positivos, y pueden ser ignorados en cuanto a su efecto sobre el signo del LHS. Sólo el $x$ y $x+2$ los términos son relevante .

$x<-2$ : Los dos términos relevantes son negativos; el producto es positivo y la desigualdad es verdadero .

$-2 < x<-1$ : Los dos términos relevantes difieren en el signo; el producto es negativo y la desigualdad es falso .

$-1 < x<0$ : Los dos términos relevantes difieren en signo; el producto es negativo y la desigualdad es falso .

$0 < x<1$ : Los dos términos relevantes son positivos; el producto es positivo y la desigualdad es verdadero .

$x>1$ : Los dos términos relevantes son positivos; el producto es positivo y la desigualdad es verdadero