Este es el capítulo $4$ejercicio $25.b$ de Walter Rudin Principios de análisis matemático, este problema ha ocupado mi mente durante mucho tiempo y no he podido solucionarlo, me gustaría ver una respuesta a esta pregunta.
Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sugerencia: Sea $a_n$ la parte decimal de $n\alpha$. Se trata de $n\alpha-\lfloor n\alpha\rfloor$.
Note que debido a $\alpha$ es irracional, $a_n$ son todas distintas.
Por lo tanto cualquier $\epsilon\gt 0$, existen distinta $m$ y $n$ tal que $|a_m-a_n|\lt \epsilon$. (Todavía hay algún trabajo que hacer).
Mike
Puntos
1113
Aquí es un método relativamente sencillo que: por una versión simplificada del teorema de Hurwitz, hay son infinitamente muchos racionales $m/n$ $\left|\alpha-\dfrac{m}{n}\right|\leq \dfrac{1}{n^2}$; multiplicar por $n$ tenemos $\left|n\alpha-m\right|\leq \dfrac{1}{n}$ - o, definición de $\beta\equiv\left|n\alpha-m\right|$, $\beta\leq\dfrac{1}{n}$. Dejando $q=\left\lfloor\dfrac{1}{\beta}\right\rfloor$, el número de $q$$\beta, 2\beta, \ldots, q\beta$- cada uno de ellos es de la forma $a\alpha+b$ $a, b\in\mathbb{Z}$ - entonces proporcionar una cubierta de $(0..1)$ % 'resolución' $\frac{1}{n}$; por la traducción entonces obtenemos la densidad en $\mathbb{Z}$.
