Distribución marginal de una variable aleatoria multivariante

Question

Tengo una variable aleatoria multivariante con función densitsy

$$f_{X_1,X_2,X_3}(x_1,x_2,x_3) = \frac{1 - \cos(x_1)\cos(x_2)\cos(x_3)}{8\pi^3} \text{ with }0 \le x_1,x_2,x_3 \le 2\pi $$

Ahora quiero la distribución marginal de $x_1$ y $x_2$

$$f_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = \frac1{8\pi^3} \int_{0}^{2\pi} 1 - \cos(x_1) \cos(x_2) \cos(x_3) \, dx_3$$

lo que me lleva a:

$$\frac1{8\pi^3}\left[x_3 - \cos(x_1)\cos(x_2)\sin(x_3)\vphantom{\frac11}\right]_0^{2\pi}$$

Ahora bien, según mi libro esto debería evaluar a $1/4\pi^2$ pero no veo cómo el término cosinus-sinus puede ser cero, lo que sería necesario para llegar a ese resultado. ¿Podría alguien explicarme cómo ese término se evalúa a cero o me he perdido?

Answer 1

El término que tiene evalúa a (Sustituir los límites de la variable $x_3$ !) $$\frac{1}{8 \pi^3} \left[x_3-\cos x_1 \cos x_2 \sin x_3\vphantom{\frac11}\right]_0^{2 \pi} = \frac{1}{8 \pi^3} (2 \pi - 0-\cos x_1 \cos x_2 (\sin (2 \pi)-\sin 0)).$$ Los senos de $0$ y $2 \pi$ se desvanecerá; obtendrá el resultado deseado.