Definir una base $S$ para una topología determinada $\delta$ en $X$ como un subconjunto de $\mathcal{P}(X)$ que satisface las siguientes condiciones: $S \subseteq \delta$ y, para cada $U \in \delta$ y cada $p \in U$ Hay un $V \in S$ tal que $p \in V$ y $V \subseteq U$ . Parece claro que, de esta definición, se deduce que toda $U \in \delta$ será igual a $\bigcup\limits_{i \leq n} V_i$ para algunos $V_1, \dots, V_n \in S$ . Mi pregunta es: ¿se deduce también de esta definición que, si $V_1, \dots, V_n \in S$ entonces $V_1 \cap \dots \cap V_n \in S$ ? De nuevo, es obvio que, para cada $p \in V_1 \cap \dots \cap V_n$ Habrá un $C \in S$ tal que $p \in C$ . Pero no me parece claro que $S$ es necesariamente cerrado bajo intersecciones finitas. ¿Me he perdido algo? ¿O hay un contraejemplo rápido para esto?
Respuestas
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Es evidente que el sistema de todos los intervalos abiertos de longitudes $1/n$ , $n=1,2,\dots$ es una base para la topología habitual en $\mathbb R$ . $$S=\{(a,a+1/n); a\in\mathbb R\}.$$ Esta base $S$ no es cerrado bajo intersecciones finitas: $$(0,1/2)\cap(x,x+1/2)=(x,1/2)$$ por cada $x\in(0,1/2)$ . Si elegimos $x$ que no es de la forma $1/2-1/n$ , entonces esta intersección no pertenece a $S$ .
Su primer comentario es falso. Todo conjunto abierto será una unión de elementos de base, pero no necesariamente de forma finita.
La topología habitual en $\mathbb{R}$ por ejemplo, es generada por la base $S$ formado por todos los intervalos abiertos. Pero hay muchos conjuntos abiertos que no son la unión de un número finito de intervalos. Por ejemplo, hay conjuntos abiertos no limitados.
La respuesta a la pregunta del título también es no. Por ejemplo, elija un solo elemento de $S$ arriba y quitarlo para obtener $S'$ . $S'$ sigue generando la misma topología (ya que el intervalo que ha desechado puede obtenerse fácilmente como unión de dos intervalos más pequeños) pero le falta una intersección en $S'$ (ya que el intervalo que ha desechado puede obtenerse fácilmente como intersección de dos intervalos mayores).
