Integral doble, cambio de variables a coordenadas polares

Question

Pregunta rápida sobre las coordenadas polares.

Al evaluar la integral doble y cambiar las variables, no estoy seguro de que los límites sean correctos.

La pregunta es la siguiente:

Evaluar $$\int\!\!\!\int_D xy\sqrt{x^2 + y^2}\,dxdy $$ donde $D = \{(x,y) \mid 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4,\ x \geq 0,\ y \geq 0\}$

Así que mi pregunta es cuando cambio a coordenadas polares, ¿el límite de la integral con respecto a r es de 1 a 2 o de 1 a 4?

Instintivamente, diría que es de 1 a 4 pero la respuesta dada por el profesor (que no tiene todos los pasos) tiene los límites en 1 a 2.

¿Será porque $x^2 + y^2 = a^2$ ?

Nota: Tengo la nueva integral, en términos de r y $\theta$ como:

$\int$$ | de la empresa. $$r^4$ porque $\theta$ sin $\theta$ drd $\theta$

Answer 1

Mira las variables reales en tu integral. Tienes $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2}=|r|$ , $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin\theta$ y tienes $dxdy=r dr d\theta$ por lo que su integrando debe ser $|r|r^3 \sin\theta\cos\theta dr d\theta$ . Ahora mira la región sobre la que se está integrando:

$$\begin{align*}&1\le x^2+y^2\le 4\;,\tag{1}\\ &x\ge 0\;,\tag{2}\\ &y\ge 0\;.\tag{e} \end{align*}$$

¿Qué límites de $r$ y $\theta$ ¿describir esta región? $(1)$ dice que $1\le r^2\le 4$ Así que $1\le |r|\le 2$ . $(2)$ y $(3)$ decir que la región se limita al primer cuadrante. Si se toma $0\le\theta\le\pi/2$ , te quedas en el primer cuadrante proporcionado que usted también guarda $r\ge 0$ . Así, $(1)-(3)$ traducir a

$$\begin{align*} &1\le r\le 2\;,\\\\ &0\le\theta\le\frac{\pi}2\;. \end{align*}$$

Por lo tanto, su integral debe ser $$\int_0^{\pi/2}\int_1^2 r^4\sin\theta \cos\theta dr d\theta\;.$$