Límite de una secuencia de factores determinantes.

Question

Deje $\beta>0$ ser dado. Para cada una de las $n\geq 2$, vamos a $\Delta_n=\det M_n$ el valor del determinante de la siguiente matriz: \begin{align} M_n = \begin{pmatrix} 2+\epsilon^2 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 2+\epsilon^2 & -1 & 0 & 0 & \ddots \\ 0 & -1 & 2+\epsilon^2 & -1 & 0 & \ddots \\ 0 & 0 & -1 & 2+\epsilon^2 & -1 & \ddots \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2+\epsilon^2 & \ddots \\ -1 & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \\ \end{pmatrix}, \qquad \epsilon = \frac{\beta}{n} \end{align} ¿Cómo se puede evaluar el límite \begin{align} \Delta = \lim_{n\to\infty}\Delta_n ? \end{align} Este problema surgió en el contexto de la evaluación de un determinado camino integral en un problema de física. Sé cómo determinar los valores propios de cada una de las $M_n$, pero calcular el determinante por tomar el producto de los autovalores conduce a un producto que no se puede evaluar. También probé la que se derive una relación de recursividad de la $\Delta_n$ y demostrando que en el límite de $n\to\infty$, la recursividad relación puede ser considerado como una ecuación diferencial cuya solución sujeto a ciertos datos iniciales determina $\Delta$, pero no así.

Cualquier conocimiento se agradece.

Adenda.

Cuando me calcular los autovalores $\lambda_k$$M_n$, puedo obtener \begin{align} \lambda_k = 4\sin^2\left(\frac{\pi k}{n}\right)+\left(\frac{\beta}{n}\right)^2, \qquad k=0,1,\dots, n-1 \end{align} a partir de la cual se deduce que \begin{align} \Delta_n = \prod_{k=0}^{n-1}\left[4\sin^2\left(\frac{\pi k}{n}\right)+\left(\frac{\beta}{n}\right)^2\right] \end{align} que no tengo la más remota idea de cómo evaluar. Yo, sin embargo, tienen una conjetura para la respuesta que viene del hecho de que este límite de determinantes vino de una ruta integral que puede ser calculado en otras formas. Mi conjetura (que he comprobado numéricamente usando mathematica hasta cierto punto) es \begin{align} \Delta = 4\sinh^2\frac{\beta}{2} \end{align}

Answer 1

Podemos responder a esta pregunta usando la información en la adenda. Vamos a proceder en tres pasos. (1) Podemos calcular los valores propios de cada una de las $M_n$ y el aviso de que el problema se reduce a la evaluación de un límite de una secuencia de productos. (2) se demuestra que la fórmula del producto probado en otro de matemáticas.SE pregunta se puede utilizar para evaluar cada término de esta secuencia de productos. (3) tomamos la $n\to\infty$ límite de la expresión resultante.

Paso 1.

Para cada una de las $n\geq 2$, vamos a $U_n = ((U_n)_{ij}) $ el valor del $n\times n$ matriz definida por \begin{align} (U_n)_{ij} = \left\{\begin{array}{cc} 1, & j=i+1 \\ 1, & (i,j) = (n,1) \\ 0, & \mathrm{otherwise} \end{array}\right. \end{align} entonces tenemos \begin{align} M_n = (2+\epsilon^2)I_n-U_n-U_n^\dagger \end{align} donde $I_n$ $n\times n$ de identidad, y $\dagger$ denota el complejo conjugado + transpose (que en este caso es, por supuesto, sólo la transposición desde las matrices son reales). Vamos a suprimir el subíndice $n$'s por simplicidad de notación por un momento.

Es sencillo mostrar que cada una de las $U_n$ tiene la propiedad de $(U_n)^n = I$; $n^\mathrm{th}$ matriz de poder es el de la identidad. Esto nos dice que cada autovalor $\lambda$ satisface $\lambda^n = \lambda$, es decir, sus valores propios son las $n^\mathrm{th}$ raíces de la unidad $e^{2\pi ik/n}$ $k=0,1,\dots, n-1$ con los correspondientes vectores propios $v_k$. Tampoco es difícil ver que $U_n^\dagger$ comparte los mismos vectores propios $v_k$ con el complejo conjugado correspondientes autovalores $e^{-2\pi ik/n}$. De ello se desprende que los autovalores de a $M_n$ \begin{align} \lambda_k = 2+\epsilon^2 - e^{2\pi ik/n} - e^{-2\pi ik/n} = 4\sin^2\left(\frac{\pi k}{n}\right)+\epsilon^2 \end{align} El determinante de a $M_n$ es el producto de sus valores propios, por lo que obtenemos \begin{align} \Delta_n = \prod_{k=0}^{n-1}\left[4\sin^2\left(\frac{\pi k}{n}\right)+\left(\frac{\beta}{n}\right)^2\right] \end{align} como se reivindica en la adenda. Así el problema se reduce a evaluar el límite de una secuencia finita de los productos; \begin{align} \Delta = \lim_{n\to \infty}\left(\prod_{k=0}^{n-1}\left[4\sin^2\left(\frac{\pi k}{n}\right)+\left(\frac{\beta}{n}\right)^2\right]\right). \end{align}

Paso 2.

La siguiente identidad del producto se tiene: \begin{align} \prod_{k=0}^{n-1}\left[\sinh^2y+\sin^2\left(x+\frac{k\pi}{n}\right)\right]=2^{1-2n}(\cosh(2ny) -\cos(2nx)) \end{align} véase, por ejemplo, la siguiente matemáticas.SE pregunta (que, por cierto, fue inspirado por la cuestión de la mano):

¿Cómo se podía descubrir este finita de la identidad del producto?

Si ponemos $x=0$, $y=\sinh^{-1}(\beta/(2n))$ y multiplicar este producto por $4^n$, entonces obtendremos la siguiente identidad como un caso especial: \begin{align} \prod_{k=0}^{n-1}\left[4\sin^2\left(\frac{\pi k}{n}\right)+\left(\frac{\beta}{n}\right)^2\right] = 2\left\{\cosh\left[2n\sinh^{-1}\left(\frac{\beta}{2n}\right)\right]-1\right\} \end{align} El deseado de expresión es por lo tanto el $n\to\infty$ límite de la expresión en el lado derecho.

Paso 3.

Para cada una de las $\beta >0$, la gran $n$ límite nos permite aproximar $\sinh^{-1}(\beta/(2n)) \sim \beta/(2n)$ por lo que la expresión en el lado derecho va a$2(\cosh(\beta)-1)$$n\to\infty$. Ahora simplemente recordar la mitad de ángulo fórmula $\sinh(\theta/2) = ((\cosh\theta-1)/2)^{1/2}$, lo que le da la conjetura resultado; \begin{align} \Delta = 4\sinh^2\left(\frac{\beta}{2}\right). \end{align}