Las raíces de $X^2-1$ en el ring $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})[X]$

Question

No sé cómo demostrar lo siguiente.

Dejemos que $n$ sea un número natural impar con $t$ diferentes divisores primos. Entonces el polinomio $X^2-1$ tiene exactamente $2^t$ raíces.

Intentos propios

En primer lugar: $X^2-1=(X-1)(X+1)$ . Decimos que $a \in \{1, 2, \cdots, n \}$ es una raíz si y sólo si $(a-1)(a+1)=kn$ para algún número entero $k$ . Ahora observe que $p|(a-1) \iff p\nmid(a+1)$ , excepto cuando $p=2$ . Si $a$ es impar, $2$ divide ambos $a+1$ y $a-1$ . Si $a$ está en paz, $2$ no divide a ninguno. Luckely $n$ es impar. Esto significa que un divisor primo $p$ de $n$ sólo puede aparecer en el máximo uno de los números $a+1, a-1$ .

Parece que sólo tenemos que demostrar que existe $k \in \mathbb{Z}$ para que $p$ aparece en al menos uno de estos números: $kn+a-1, kn+a+1$ porque, según las observaciones anteriores, hay exactamente $2^t$ era "ordenar" los divisores primos en la factorización de $\bar{a}-\bar{1}$ y $\bar{a}+\bar{1}$ . ¿Es esto correcto?

Answer 1

Creo que tu método podría funcionar. Sin embargo, yo diría que es más fácil utilizar el Teorema del Resto Chino para pasar del problema $$ x^2 \equiv 1 \pmod n $$ Al sistema isomorfo de ecuaciones $$ x^2\equiv 1 \pmod{{p_1}^{k_1}}\\ x^2\equiv 1 \pmod{{p_2}^{k_2}}\\ \vdots\\ x^2\equiv 1 \pmod{{p_t}^{k_t}} $$ Eso es,

$$ x\equiv \pm1 \pmod{{p_1}^{k_1}}\\ x\equiv \pm1 \pmod{{p_2}^{k_2}}\\ \vdots\\ x\equiv \pm1 \pmod{{p_t}^{k_t}} $$ Hacer una elección binaria $t$ veces produce $2^t$ posibilidades totales. De este modo, hemos reducido el problema a demostrar que $$ x\equiv \pm1 \pmod{{p}^{k}} $$ es el conjunto completo de soluciones de $$ x^2\equiv 1 \pmod{{p}^{k}} $$ Para una prima impar $p$ y un número entero positivo $k$ . Hagen von Eitzen ha proporcionado una prueba clara de que esto es así en su respuesta.

Answer 2

Usted ha observado que $X^2-1$ tiene exactamente dos soluciones módulo $p$ (impar).

El siguiente paso sería considerar los poderes primarios de impar $p^k$ con $k>1$ (Obsérvese la redacción del enunciado del problema: $n=5^{17}3^8$ tiene exactamente $t=2$ prime divisores - aunque tiene $25$ prime factores ). Por supuesto, $\pm1$ siguen siendo al menos dos soluciones distintas módulo $p^k$ . Y cualquier otra solución $x$ debe ser $\equiv \pm1\pmod p$ por lo que se puede escribir como $x=ap^r\pm1\pmod {p^k}$ con $p\not |a$ y $1\le r<k$ . Entonces $x^2-1=a^2p^{2r}\pm2ap^{r}+1-1\equiv \pm2ap^{r}\pmod{p^{r+1}} $ da una contradicción, por lo que hay de nuevo exactamente dos solutoins módulo cualquier potencia de impar primo. Para el caso general, cualquier combinación obtenida eligiendo un signo por divisor primo produce una solución módulo $n$ según el teorema chino del resto (y viceversa).