Primero citamos el siguiente teorema: [1]
Teorema. (Agnew, 1951) Dejemos que $f : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ sea localmente integrable. Entonces las siguientes son equivalentes:
(1) $\int_{0}^{\infty} \frac{f(at) - f(bt)}{t} \, \mathrm{d}t$ converge como una integral impropia para cada $\lambda = \log(a/b)$ en un conjunto de medida positiva.
(2) Ambos $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\int_{1}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t$ y $\lim_{x \to 0^+} x \int_{x}^{1} \frac{f(t)}{t^2} \, \mathrm{d}t$ convergen.
(3) Ambos $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t$ y $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}\int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t$ convergen.
Además, en este caso, tenemos
\begin{align*} C_{\infty} &: = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\int_{1}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t, \\ C_{0} &: = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}\int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t = \lim_{x \to 0^+} x \int_{x}^{1} \frac{f(t)}{t^2} \, \mathrm{d}t \end{align*} así como $$\int_{0}^{\infty} \frac{f(at) - f(bt)}{t} \, \mathrm{d}t = \lambda (C_{\infty} - C_0)$$ para cada par de números positivos $a$ y $b$ .
Así que la convergencia de la integral de Frullani estándar está íntimamente relacionada con la media de Cesàro cerca de $0$ y $\infty$ . La prueba se basa esencialmente en la propiedad de la medida de Haar $x^{-1} \, \mathrm{d}x$ en el grupo multiplicativo $(0, \infty)$ . Dicho esto, me parece poco probable que exista una condición necesaria útil para la existencia de la integral de Frullani generalizada de OP.
Aun así, podemos intentar producir algunas condiciones suficientes: Para simplificar el argumento, imponemos los siguientes supuestos:
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$f \in C([0,\infty])$ , lo que significa que $f$ es continua en $[0, \infty)$ y $f(\infty):=\lim_{x\to\infty}f(x)$ converge.
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$g : [0, \infty) \to [0, \infty)$ es una biyección continua estrictamente creciente con la inversa $h = g^{-1}$ .
Entonces, para cualquier $a, b > 0$ y $0 < r < R$ ,
\begin{align*} &\int_{r}^{R} \frac{f(ag(x)) - f(bg(x))}{x} \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{r}^{R} \frac{f(ag(x))}{x} \, \mathrm{d}x - \int_{r}^{R} \frac{f(bg(x))}{x} \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{ag(r)}^{ag(R)} f(u) \, \mathrm{d}\log h(u/a) - \int_{bg(r)}^{bg(R)} f(u) \, \mathrm{d}\log h(u/b) \\ &= \int_{ag(r)}^{bg(r)} f(u) \, \mathrm{d}\log h(u/a) - \int_{ag(R)}^{bg(R)} f(u) \, \mathrm{d}\log h(u/b) \\ &\quad + \int_{bg(r)}^{ag(R)} f(u) \, \mathrm{d}\log \left( \frac{h(u/a)}{h(u/b)} \right). \end{align*}
Utilizando la continuidad de $f$ podemos proporcionar un condición suficiente para la cual la expresión anterior converge como $r \to 0^+$ y $R \to \infty$ para la arbitrariedad $a, b > 0$ :
Estado. Para cualquier $c > 0$ cada uno de los siguientes converge:
$$ \lim_{r \to 0^+} \frac{h(cr)}{h(r)}, \qquad \lim_{R \to 0^+} \frac{h(cR)}{h(R)}, \qquad \int_{0}^{\infty} \left| \mathrm{d}\log\left(\frac{h(cu)}{h(u)} \right) \right| $$
De hecho, si esta condición se cumple, entonces Teorema de caracterización de Karamata para funciones que varían regularmente dice que existe $p, q \geq 0$ satisfaciendo
$$ \lim_{r \to 0^+} \frac{h(cr)}{h(r)} = c^{p} \qquad \text{and} \qquad \lim_{R \to 0^+} \frac{h(cR)}{h(R)} = c^{q} $$
para todos $c > 0$ . Entonces no es difícil demostrar que
\begin{align*} \int_{0}^{\infty} \frac{f(ag(x)) - f(bg(x))}{x} \, \mathrm{d}x &= (q f(\infty) - p f(0)) \log ( a/b ) + \int_{0}^{\infty} f(u) \, \mathrm{d}\log \left( \frac{h(u/a)}{h(u/b)} \right). \end{align*}
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Ejemplo 1. Si $g(x) = x^{d}$ para algunos $d > 0$ entonces $p = q = \frac{1}{d}$ y $\mathrm{d}\log \left( \frac{h(u/a)}{h(u/b)} \right) = 0$ . Así que obtenemos \begin{align*} \int_{0}^{\infty} \frac{f(ax^{d}) - f(bx^{d})}{x} \, \mathrm{d}x &= \frac{(f(\infty) - f(0)) \log ( a/b )}{d}. \end{align*} Esto también se puede demostrar directamente a partir de la integral de Frullani estándar aplicada a $x \mapsto f(x^d)$ .
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Ejemplo 2. Si $g(x) = \frac{x+\sqrt{x^2+4x}}{2}$ entonces $h(u) = \frac{u^2}{u+1}$ y así, $p = 2$ y $q = 1$ . Así que obtenemos \begin{align*} \int_{0}^{\infty} \frac{f(ag(x)) - f(bg(x))}{x} \, \mathrm{d}x &= (f(\infty) - 2f(0)) \log ( a/b ) + \int_{0}^{\infty} \frac{(a-b)f(u)}{(u+a)(u+b)} \, \mathrm{d}u. \end{align*} Como comprobación de la cordura, el enchufe $f \equiv 1$ muestra que ambos lados son cero.
Referencias.
- Agnew, Ralph Palmer. "Valores medios e integrales de Frullani". Actas de la Sociedad Matemática Americana 2, no. 2 (1951): 237-41. Consultado el 22 de junio de 2020. doi:10.2307/2032493.
