Deducción extraña sobre la relación entre la mediana y la media

Question

En su blog T. Tao's demuestra la siguiente desigualdad de concentración, debida a Talagrand.

Dejemos que $K>0$ y que $X_{1},..., X_{n}$ sean variables aleatorias complejas iid, todas ellas acotadas por $K$ . Sea $F:\mathbb{C}^n\rightarrow \mathbb{R}$ ser un $1$ -Función convexa de Lipshitz (para esta identificación $\mathbb{C}^n$ con $\mathbb{R}^{2n}$ ). Entonces, para cualquier $\lambda$ uno tiene: $$ \mathbb{P}(|F(X)-MF(X)|\geq\lambda K)\leq C \exp(-c\lambda ^{2}) \tag{1}$$ y $$ \mathbb{P}(|F(X)-\mathbb{E}F(X)|\geq\lambda K)\leq C \exp(-c\lambda ^{2}) \tag{2}.$$

Afirma que es suficiente con demostrar $(1)$ porque $(1)$ imples a su vez que: $$\mathbb{E}F(X)=MF(X)+\mathcal{O}(1)$$ lo que da como resultado $(2)$ .

POR QUÉ ES $$\mathbb{E}F(X)=MF(X)+\mathcal{O}(1)$$ verdadero, y en particular por qué se puede deducir de $(1)$ ?

Answer 1

Para toda variable aleatoria no negativa $Y$ , $$ E[Y]=\int_0^\infty P[Y\geqslant y]\,\mathrm dy. $$ Aplicando esto a $Y=|F(X)-MF(X)|$ y utilizando (1), se obtiene $$ E[|F(X)-MF(X)|]\leqslant\int_0^\infty C\mathrm e^{-cy^2/K^2}\,\mathrm dy=CK/\sqrt{c}\int_0^\infty\mathrm e^{-y^2}\mathrm dy. $$ Así, $E[F(X)]=MF(X)+R(X)$ , donde $|R(X)|\leqslant CK\sqrt{\pi/(4c)}$ .

Answer 2

Dejemos que $m$ denotan la mediana. Por la desigualdad del triángulo $\bigl|\Bbb E F(X)-m\bigr|\leq \Bbb E(|F(X)-m|)$ . Pero esta expectativa es $$ E(|F(X)-m|) = \int_0^\infty \Bbb P(|F(X) - m| \geq \lambda)\,d\lambda \leq KC\int_0^\infty e^{-c\lambda^2}\,d\lambda = O(1). $$