Relación entre la convergencia en la distribución y en la probabilidad

Question

¿La convergencia en la distribución implica la convergencia en la probabilidad?

Supongo que no, pero necesito un contraejemplo. ¿Alguien conoce algún contraejemplo?

Answer 1

Considere el espacio de probabilidad $((0,1),\mathcal{B}(0,1))$ dotado de la medida de Lebesgue $\lambda$ y las variables aleatorias $$X(\omega) := 1_{(0,1/2)}(\omega) \qquad \qquad Y(\omega) := 1_{(1/2,1)}(\omega), \qquad \omega \in (0,1).$$ Entonces $X \sim Y$ . Establecer $X_n(\omega) := Y(\omega)$ para todos $n \in \mathbb{N}, \omega \in (0,1)$ .

1. $X_n \to X$ en la distribución desde $X_n \sim X$ para cualquier $n \in \mathbb{N}$
2. $X_n$ no converge en probabilidad a $X$ desde $$\lambda(|X_n-X|>1/2)= \lambda(|X-Y|>1/2) = 1.$$