Explicación intuitiva de por qué la medida de Lebesgue de los irracionales en [0,1] es igual a 1

Question

Se me ocurrió la siguiente explicación intuitiva de por qué los números irracionales en el intervalo [0,1] tienen medida 1 y me gustaría saber si la explicación es correcta.

• la medida de Lebesgue requiere una contable unión de intervalos disjuntos para cubrir todos los irracionales en el intervalo [0,1]
• los irracionales son incontables
• Por lo tanto, los intervalos (contables) de la medida tienen que ser de longitud no nula para cubrir todos los irracionales
• como hay que cubrir todo el intervalo las longitudes suman uno

Se agradece cualquier evaluación

habbes

Answer 1

No está claro qué quieres decir con "la medida de Lebesgue requiere una unión contable de intervalos disjuntos para cubrir todos los irracionales en el intervalo [0,1]".

Dejemos que $A$ sean los números racionales en $[0,1]$ y $B$ sean los números irracionales en $[0,1]$ .

Entonces $A$ y $B$ son disjuntos y $A \cup B=[0,1]$ Por lo tanto

$1= \lambda([0,1])= \lambda(A)+ \lambda(B)=\lambda(B)$ ,

desde $\lambda(A)=0$ .

Answer 2

Conozca $\lambda([0,1]) = 1$ . Como sabemos que los racionales tienen medida de Lebesgue cero, eliminar algo con medida cero de $[0,1]$ mantiene la medida original.

Básicamente: $\lambda([0,1]\cap \mathbb{I}) = \lambda([0,1]-\mathbb{Q}) = 1-0=1$