¿Qué hacen los fermiones en el modelo SYK?

Question

El Hamiltoniano del modelo SYK es

\begin{equation} H = \mathcal{N}\sum_{ijkl}^N J^{ijkl} \chi_i \chi_j \chi _k \chi _l \end{equation}

donde $\mathcal{N}$ es una normalización para que la energía escale con $N$ y $\chi_i$ es un operador de Majorana. Diferentes revisiones sobre el modelo SYK llaman a las variables $i=1,\dots,N$ sitios, otros hablan de $\chi$ como un vector con $N$ componentes como si fuera un giro $N$ partícula. En relación con esta pregunta, no entiendo si el número de partículas se conserva en este Hamiltoniano. En otros casos, como el modelo de Hubbard, se obtiene un término como

\begin{equation} H = \mathcal{N}\sum_{r,r'} J^{r,r'} a^\dagger_r a_{r'} \end{equation}

donde la interpretación es que el Hamiltoniano destruye una partícula en el sitio $r'$ y crea otro en el sitio $r$ . Sin embargo, en el Hamiltoniano SYK, dado que los fermiones de Majorana son autoadjuntos, cualquier operador puede funcionar como operador de creación y aniquilación. Esto significa que cualquier término del hamiltoniano puede crear cuatro partículas, destruir cuatro partículas o cualquier cosa intermedia. Así que la pregunta es: ¿Cómo debemos interpretar el hamiltoniano de SYK (o cualquier hamiltoniano con fermiones de Majorana, para el caso)?

Answer 1

Es estándar considerar que los fermiones en el modelo SYK están todos en el mismo "sitio" pero con un acoplamiento de todos a todos. El modelo SYK se considera como un modelo unidimensional (o 0-dimensional en el lenguaje de la materia condensada). Aunque he visto a gente referirse a ellos como sitios diferentes, no estoy realmente seguro de que importe. Hay otros trabajos en los que se acoplan varias cadenas de modelos SYK para construir un modelo de mayor dimensión y en ese sentido el $i$ El índice no debe confundirse con los sitios espaciales.

Hay una clase de modelos que reproducen la misma física de baja energía que la del modelo SYK donde los fermiones son realmente componentes de un vector (estos modelos, conocidos como modelos tensoriales, han sido estudiados ampliamente por Klebanov y colaboradores y Gurau y colaboradores . Witten también tuvo un papel sobre dichos modelos en octubre de 2016 mostrando que su física es la misma que la del modelo SYK). En estos casos, hay un $O(N)^3$ simetrías. Sin embargo, no existe tal simetría en el modelo SYK, que sólo tiene simetría de intercambio en los fermiones.

Por último, el número del fermión no se conserva en el modelo SYK, como bien señalas. Y si realmente quieres interpretarlo como creación y aniquilación de partículas, entonces sí hay probabilidad de transición entre varios estados con diferente número de partículas en este caso. Documento de Maldacena hace evidente que los estados propios del modelo SYK están en superposición de la base del número de partículas. Se puede interpretar el modelo SYK como un sistema que interactúa con algún baño externo que lleva a la no conservación del número de partículas. Este baño es el resultado de un promedio desordenado sobre acoplamientos aleatorios $J_{ijkl}$ .

Answer 2

Voy a responder a tu pregunta, y luego voy a explicar por qué era una pregunta equivocada.

Perturbadoramente, hay que pensar que el modelo SYK tiene $N$ sabores de fermión. Puedes utilizar cualquier intuición que utilices al pensar en los quarks. Las diferentes especies interactúan en vértices de cuatro puntos. Como has dicho, éstos pueden ser 1-3, 2-2 o 3-1. Incluso pueden ser 4-0 o 0-4, al menos en el nivel de las partículas virtuales. El hecho de que esto sea en dimensiones espaciales cero no cambia ninguna de las intuiciones que deberías heredar de las QFT más convencionales, al menos en un régimen perturbativo.

Pero la mayoría de la gente no estudia el modelo SYK en régimen perturbativo. Todas las constantes de acoplamiento tienen unidades de energía. Así que en el límite de baja energía/baja temperatura, todas esas constantes de acoplamiento se vuelven enormes. En escalas de tiempo largas/bajas energías, la teoría de la perturbación deja de ser una buena imagen en absoluto. Hablar de los fermiones fundamentales no tiene sentido. No me sumergiré demasiado en lo que sí surge, sólo dejaré este documento aquí https://arxiv.org/pdf/1604.07818v1.pdf