Hay muchos libros, especialmente en Análisis Real y teoría de conjuntos, que definen los números reales mediante sucesiones de Cauchy o cortes de Dedekind. Entonces mi pregunta es ¿por qué no simplemente definimos los números reales como un campo ordenado completo?
¿Cuál es la importancia de estudiar la construcción de los números reales? ¿Es solo por razones históricas?
En primer lugar, las matemáticas se basan en la intuición y en objetos concretos (imaginarios, pero concretos), a menudo inspirados en la realidad. Detengamos por un momento las formalidades y hablemos libremente: no pensamos en $3/4+1/2$ como una operación que implica clases de equivalencia de pares ordenados de enteros de Von Neumann, sino que lo vemos como verter $3/4$ litros de agua y $1/2$ litros de agua en un recipiente.
Dicho esto, si vas a razonar sobre la base de objetos intuitivos como fracciones y enteros, necesitas partir de algún lugar. Ni siquiera estoy hablando realmente de axiomas, simplemente quiero decir que debes aceptar que ciertas cosas son lo suficientemente razonables como para entender cómo funcionan sin tener que analizar más a fondo. Acepto los números enteros como un objeto básico de las matemáticas, no necesito preguntar qué es un número entero ni qué significa sumar números enteros. Supongo que todo lo que estoy diciendo es que en matemáticas necesitamos objetos indefinidos.
Ahora, seguramente estás dispuesto a aceptar los enteros, la suma de enteros y demás como objetos indefinidos. Probablemente también aceptas los números racionales: sabes a qué me refiero cuando hablo de "dividir $3$ cosas en $4$ partes iguales" y qué significaría "sumar" dos cantidades así.
Entonces, hasta ahora estamos de acuerdo en que aceptar los números racionales como objetos básicos sin un análisis adicional es filosóficamente tolerable. Bueno, estoy seguro de que has visto la prueba de que la raíz cuadrada de $2$ es irracional. Pero revísalo de nuevo, eso no es lo que prueba. Lo que demuestra es que no hay un número racional que eleve al cuadrado a $2$. No prueba que existan números irracionales ni que haya algún objeto en el universo que valga la pena llamar raíz cuadrada de $2$. De hecho, si hasta ahora hemos aceptado números racionales en nuestra colección de objetos filosóficamente coherentes, entonces no hay ninguna razón por la cual no deberíamos simplemente detenernos aquí y decir "bueno, claramente no hay raíz cuadrada de $2$". Seamos sinceros, la razón por la que la mayoría de los estudiantes se sienten tan fuertemente en contra es porque nunca han visto ERR cuando escriben SQRT(2) en una calculadora, se acepta sobre la base de que una figura de autoridad les dijo así, y la filosofía de todo esto no se cuestiona. Pero realmente no hay razón para entrar en pánico y postular un sistema de números más grande solo porque no hay un número cuyo cuadrado sea $2$, tampoco hay un número cuyo cuadrado sea negativo, pero eso no molestaba a nadie hasta que comenzaron a hacer álgebra relativamente avanzada.
Pero espera, hay una forma de rescatar a la pobre $\sqrt{2}$. Digamos que necesitas un número cuyo cuadrado sea $2$ - quizás necesites dibujar un cuadrado cuya área sea $2$. Bueno, entonces no te importarían mis ridículas divagaciones metafísicas, simplemente elegirías un número racional cuyo cuadrado fuera cerca de $2$, digamos $1$ cm y $4$ mm, y dibujarías el cuadrado de esa manera. Ahora, si queremos aproximaciones mejores y mejores - números cuyos cuadrados estén cada vez más cerca de $2$ - descubriríamos que estos números "convergen" a un tipo de "punto ideal". Por ejemplo, dado cualquier $\epsilon$, puedo encontrar un intervalo de ancho $\epsilon$ en el cual todas las aproximaciones más allá de cierta precisión deben estar. Además, estos intervalos se anidarán unos dentro de otros a medida que $\epsilon$ disminuya, por lo que realmente se están "ajustando" alrededor de un punto especificado.
Es tentador llamar a este "punto" un número, pero eso es inaceptablemente vago para un matemático. ¿Qué es este "punto", por un lado? Ciertamente no es un número racional (el único tipo de número que entendemos, hasta ahora). Un enfoque es decir que la única razón por la que creemos que este "punto" existe es porque tenemos una especie de oráculo que nos dice, dado cualquier racional, si es "demasiado grande" (su cuadrado es mayor que $2$) o "demasiado pequeño". Es mediante el uso de este oráculo que podemos encontrar aproximaciones cada vez mejores de la raíz cuadrada de $2$: haces una suposición, luego la haces un poco más grande o un poco más pequeña dependiendo de si su cuadrado es más pequeño o más grande que $2$. Así que podríamos decir que cada vez que tenemos dicho "oráculo", podemos afirmar haber encontrado uno de estos misteriosos "números" idealizados, a los cuales se puede acercar pero nunca darles un valor exacto. Esto es esencialmente un corte de Dedekind.
Espero haberte convencido de dos cosas:
No hay una razón obvia (aparte de la memorización constante en la educación obligatoria con símbolos como "$\sqrt{\cdot}$" y "$\dots$") para sospechar que exista algo parecido a los números reales o que valga la pena discutirlos.
Sin embargo, con algo de reflexión se puede encontrar tal razón (de lo contrario, los números reales nunca se habrían desarrollado, ¡por supuesto!), y conduce muy naturalmente a las diversas construcciones de los reales.
Ahora, si aceptas (1), entonces la respuesta a tu pregunta es simple. Si no es obvio que existan los números reales, postular su existencia es absurdo. Incluso si te sientes bien con la idea de simplemente escribir e investigar algunos axiomas aleatorios, no habría ninguna razón para sospechar que estos axiomas describen el mundo real, o cualquier cosa interesante en absoluto, de ninguna manera útil. Ese último punto es crucial. Las construcciones de los números reales son la única razón para pensar que los números reales tienen alguna relación con la realidad. Demostrar que existe un campo ordenado completo en ZFC, como se señala en las otras respuestas, es interesante, pero realmente no es la razón más importante para construir los números reales, ya que simplemente existir no implica que una estructura sea interesante o sea un modelo válido para la cantidad en el mundo real.
Y considera (2). Como vimos anteriormente (de manera muy resumida), para el momento en que has reflexionado lo suficiente para convencerte de que existe algo así como un número real, estás a mitad de camino para construir rigurosamente los números reales de todos modos, así que más vale que acabes el trabajo.
Para dibujar un cuadrado de área dos, primero dibuja un cuadrado de área uno y construye un cuadrado en la diagonal... (Ver Menón de Platón.)
Imagina un documento matemático que comienza con: "Sea $\mathbb G$ un cuerpo ordenado completo contable". Sabemos que tal objeto no existe, por lo que cualquier cosa que el documento tenga que decir al respecto es vacía.
Ahora imagina un documento que comienza con: "Sea $\mathbb R$ un cuerpo ordenado completo". Gracias a nuestras construcciones, sabemos que tal objeto sí existe. ¡Esta es una diferencia crucial!
Aunque estoy de acuerdo con esta filosofía, me perturba profundamente cuando leo un documento que comienza con "Sea $\kappa$ un cardinal medible...".
@MarioCarneiro: ¿Te sientes profundamente perturbado cuando lees un artículo que usa ZFC para su metamatemática? En algún momento, desafortunadamente, tenemos que dar las cosas por sentadas o tratar todo como hipotético. O limitarnos al ultrafinitismo o algo así, pero ¿dónde está la diversión en eso?
@tomasz Mi punto es que la mayor parte de la teoría de los grandes cardinales en realidad tiene lugar en ZFC, con los axiomas de existencia real utilizados de forma esporádica. Esto hace que la mayoría de los teoremas adopten un tono filosófico extraño, ya que prueban propiedades sobre un objeto que no se sabe que existe (y de hecho no se puede demostrar que exista). Esto difiere de la infinitud regular en que generalmente tomamos esto como un axioma, de modo que uno realmente puede decir que los objetos existen en la teoría, en lugar de solo demostrar afirmaciones condicionales como "si $\kappa$ es inaccesible, entonces $V_\kappa$ es un modelo de ZFC" (en ZFC).
Necesitas motivar a los lectores, al menos a los recién llegados a las matemáticas. Si te dijera que existe un objeto tal y cual, ¿por qué deberías creer que su existencia es plausible? ¿Cómo puedes saber que su existencia no es contradictoria?
No lo harás, o al menos no deberías. Y está bien.
Pero, si más o menos estamos de acuerdo en que los números naturales existen y por extensión los números racionales existen, entonces podemos construir los números reales, y así demostrar que existen.
Esto también es importante porque es una buena manera de introducir las nociones de sucesiones, convergencia, orden lineal, y así sucesivamente, y acostumbrar a los lectores al hecho de que en matemáticas tratamos de no aceptar demasiadas cosas "por fe", sino que empezamos con un conjunto muy pequeño de suposiciones y construimos el resto del universo.
+1 por "en matemáticas tratamos de no aceptar demasiadas cosas por fe". Esta es una actitud que se debe tener al estudiar matemáticas.
@ParamanandSingh "Demasiadas cosas" se refiere a la cantidad, sin embargo, no es por ser quisquilloso ni nada, creo que se trata de la calidad de las fórmulas lo que debería decidir si las aceptamos por fe o no. Por ejemplo, si tengo unas veinte conjeturas, cada una respaldada con abundante evidencia numérica, sería razonable asumir que son válidas. La "línea" que los matemáticos cruzan al "aceptar una fórmula por fe" no está fija, y es diferente para cada uno en relación con su intuición y gusto subjetivo por la "calidad". Ramanujan, dejando de lado sus métodos poco ortodoxos, es un excelente ejemplo.
@MrPie: el caso de Ramanujan no es diferente en este sentido. Ramanujan obtuvo muchos de sus resultados a partir de evidencia empírica. Contrariamente a la creencia popular, él probó todos sus resultados, pero debido a la falta de papel, no registró la mayoría de las pruebas. Para resultados donde no tenía pruebas, escribiría explícitamente que no había prueba. Las identidades de Rogers Ramanujan se encontraron empíricamente. Más tarde, Ramanujan vio una prueba de Rogers mientras estaba en Inglaterra y se sorprendió. Más tarde desarrolló su propia prueba diferente a la de Rogers.
En la geometría tradicional, la disputa sobre el postulado de las paralelas era si el postulado de las paralelas podía probarse a partir de los otros axiomas. Si se pudiera, entonces no habría necesidad de incluirlo como una suposición separada. Este es un aspecto general de los matemáticos: nos gusta tener menos, en lugar de más, suposiciones, siempre que sea posible.
Resulta que las matemáticas estándar que generalmente se enseñan en una licenciatura en matemáticas - cálculo, análisis real básico, álgebra abstracta básica, etc. - todos pueden derivarse de un conjunto particular de axiomas, que son axiomas para la teoría de conjuntos.
Los axiomas de la teoría de conjuntos incluyen un axioma - el axioma de infinitud - que nos permite construir directamente los números naturales. A partir de los naturales, podemos construir los enteros y los racionales de una manera directa.
La construcción de los reales a partir de los racionales, llevada a cabo en la teoría de conjuntos, muestra que no se necesitan nuevos axiomas para la recta real. Entonces, a diferencia del postulado de las paralelas que debe asumirse además de los otros postulados de Euclides, no necesitamos asumir que hay un campo ordenado completo: podemos construir uno utilizando los axiomas que ya tenemos.
La construcción también muestra que si
Entendemos los números racionales
Y entendemos los subconjuntos de los racionales lo suficientemente bien como para entender el axioma de "completitud"
eso solo es suficiente para que entendamos la recta real. En otras palabras, es la completitud por sí misma - y realmente no ninguna otra propiedad de los reales - la que lleva a su incontabilidad.
Finalmente, la construcción de los reales usando sucesiones de Cauchy también es muy relevante para la computación. Es completamente posible escribir programas que computen con números reales, representando los números reales como sucesiones de Cauchy de racionales. Esto se llama "aritmética real exacta" (esto no es lo mismo que la "aritmética de precisión arbitraria" que realmente solo se trata de números racionales).
Por una parte, como mencioné en mi comentario, está la cuestión de la existencia. ¿Es claro para un principiante que exista un campo ordenado completo como este? Por otra parte, ¿qué tal la unicidad? ¿Están completamente determinados los números reales por estos axiomas? ¿O podría haber un campo no isomorfo que sea completo y ordenado?
Podemos usar los axiomas de los conjuntos ordenados completos para demostrar que existe solo uno, no necesitamos la construcción de los números reales para demostrarlo. ¿Estoy en lo correcto?
Es correcto. Puedes demostrarlo. Pero simplemente estoy tratando de argumentar que al definir cosas solo por axiomas, hay puntos difíciles de aclarar. En este caso, la existencia es el principal. Otra cosa interesante es que usando la idea de la construcción de los números reales como la completación con respecto a la métrica euclidiana, se pueden construir otros campos muy interesantes, como $\mathbb{Q}_p$, los $p$-adicos.
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¿Por qué existe un campo ordenado completo?
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Cuando estableces un sistema de axiomas para una teoría, es bueno saber que existe un modelo para esa teoría, es decir, un conjunto con las relaciones adecuadas que satisface esos axiomas. Al construir rigurosamente los números reales, mostramos que hay un campo ordenado completo, al mismo tiempo que nos convencemos de que los números reales tienen una base válida.
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"El método de postular lo que queremos tiene muchas ventajas; son las mismas que las ventajas del robo sobre el trabajo honesto." -Bertrand Russell, Introducción a la Filosofía Matemática
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Mientras estamos en eso, ¿por qué no simplemente definimos los Números Naturales como una estructura que satisface los Axiomas de Peano, el Último Teorema de Fermat y la Conjetura de Goldbach? Piensa en todo el trabajo que se podría haber ahorrado.
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Considera un curso que comience con "Sea $F$ un campo ordenado completo ..."; luego muestre una gran cantidad de propiedades de tales campos; luego muestre que cualquier dos campos de este tipo son isomorfos; luego muestre que el único campo construido hasta ahora ($\mathbb Q$) no es un ejemplo; luego muestre que se puede construir un ejemplo a la Cauchy o Dedekind. Creo que un curso así podría ser bastante divertido, tanto por la "sorpresa" al final como por el dato curioso de que no se necesitaron secuencias "sucias" de Cauchy ni cortes de Dedekind para la primera parte.
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Si mal no recuerdo, mi curso de A-level (que es de 16 a 18 años para los no británicos) definió los números reales como un campo ordenado completo sin una prueba de existencia, y me encontré con construcciones por primera vez durante el primer año de universidad. Como tal, quizás podamos definir "análisis real y teoría de conjuntos", en contraposición a "cálculo ad hoc", como "el punto en el que comenzamos a preocuparnos si nuestras teorías tienen modelos o no" ;-)
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Creo que nadie preguntó alguna vez por qué no podemos definir los números racionales como el campo más pequeño de característica cero. ¿Por qué definimos un número racional como una razón de dos enteros $p, q$ con $q$ no igual a cero? Un nuevo concepto debe ser definido en términos de conceptos ya definidos. Así, un número real debe ser definido en términos de números racionales si se han definido los números racionales en términos de enteros. De la misma manera, nadie objeta la definición de números complejos como un par de números reales.