Mínimo del conjunto vacío en $\infty$ ¿Por qué?

Question

Según una definición, un mínimo en un conjunto es el número más pequeño en él.

Mi profesor afirmaba: el mínimo en conjunto vacío en $\infty$ ¿Por qué? $\infty$ ni siquiera es un miembro del conjunto vacío, lo que contradice la definición, además tendrá más sentido para mí si es $- \infty$

Answer 1

Como otros han señalado, el mínimo y el máximo de la $\emptyset$ son indefinidos, ya que un mínimo o un máximo deben pertenecer al conjunto, pero el ínfimo y el supremum están bien definidos.

El infimo de un conjunto es el mayor límite inferior. Es decir, es el mayor número tal que ningún miembro del conjunto es menor que él. Ahora bien, si tomamos un número real cualquiera $x$ es cierto que ningún miembro de $\emptyset$ es menor que $x$ . ¿Cuál es el mayor $x$ ? Bueno, no hay un número real más grande, así que $\infty$ es un acuerdo sensato.

Del mismo modo, el supremum de $\emptyset$ es $-\infty$ .

Answer 2

Tal y como lo has escrito, tu profesor está equivocado.

Sin embargo, existe una noción similar (pero definitivamente diferente) de un límite inferior mayor, también llamado infimo. Este valor se define como el mayor valor que no tiene ningún elemento del conjunto mayor que él. Para un conjunto vacío, el mayor límite inferior debe ser $\infty$ .

Answer 3

Convencionalmente, la suma ( $\displaystyle\sum$ ) de ningún término es $0$ y el producto ( $\displaystyle\prod$ ) de ningún factor es $1$ . De este modo, el resultado sigue siendo coherente si se añade un elemento. $0$ es neutral para la adición, $1$ neutral para la multiplicación.

Lo mismo ocurre con el mínimo: el mínimo de ningún término debe ser más infinito, de modo que si se añade un elemento, el nuevo mínimo es ese elemento. $\infty$ es neutral para el mínimo.

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Del mismo modo, la unión de ningún conjunto debe definirse como el conjunto vacío, y la intersección de ningún conjunto, como el universo.

Answer 4

Consideremos el conjunto vacío $\emptyset\subset \mathbb R$ como un subconjunto de $\mathbb R$ .

Todo número real $r\in \mathbb R$ es un límite inferior de $\emptyset$ y esto es porque no hay $x\in \emptyset$ tal que $x\lt r$ . Así que el conjunto de todos los límites inferiores de $\emptyset$ es $\mathbb R$ .

Así que $\inf \emptyset=\sup \mathbb R=\infty$ , donde $\infty$ no es un número real, sino que es sólo un símbolo para mostrar que $\mathbb R$ es ilimitado por encima.

Utilizando los mismos argumentos, mutatis mutandis, para los límites superiores, se obtendrá $\sup \emptyset =\inf \mathbb R=-\infty$ .

Answer 5

Tienes razón, la definición no se aplica al conjunto vacío. Lo que tu profesor debería haber dicho es que para el conjunto vacío se define por separado como $\infty$ .

¿Por qué es una definición sensible?

Tienes algunas propiedades que te gustaría que siguieran siendo ciertas en el caso del conjunto vacío.

Por ejemplo, si $A \subseteq B$ entonces $\min A \ge \min B$ . Esto es fácil de demostrar para conjuntos no vacíos, por lo que se quiere definir para el conjunto vacío para que esto siga siendo cierto.

Pero $\emptyset \subseteq B$ para todos los subconjuntos $B$ Así que necesitarás $\min \emptyset \ge \min B$ para todos los subconjuntos $B$ . En particular, si $B=\{x\}$ , $\min \emptyset \ge x$ para todos $x \in \mathbb R$ . Obviamente no existe tal número real y esto motiva claramente la definición $\min \emptyset = \infty$ .

Otras propiedades que implican la unión, la intersección o el complemento de conjuntos también pueden utilizarse para motivar esta definición y en general todo funciona muy bien con esta definición.

Nota: Para los subconjuntos de $\mathbb R$ en general se debe hablar del ínfimo, no del mínimo, ya que no todos los conjuntos tienen un elemento mínimo.